Matematické Fórum

Joukieee · 09. 12. 2008 18:02

Dokazte, ze reálná funkce f : R -> R daná predpisem f(x) = 2x je spojitá.
ja bych si to vedel predstavt ale vubec bych to nevedel dokazat :( nepomohl by mi stim nekdo prosim?

Pavel Brožek

Asi se chce dokázat to z definice spojitosti. Takže pro každé $x_0$ a libovolné $\varepsilon>0$ musíš najít $\delta>0$ tak, že pro všechny x takové, že $|x-x_0|<\delta$ , je $|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$ .

( $\delta$ může být závislá na $x_0$ a $\varepsilon$ .)

lukaszh

↑ Joukieee:
Z definície spojitosti
$\forall\varepsilon\,>\,0\;\exists\delta\,>\,0\;\forall x\in\text{D}(f)\,:\;|x-x_0|\,<\,\delta\Rightarrow|f(x)-f(x_0)|\,<\,\varepsilon$
V tvojom prípade stačí zvoliť delta = epsilon/2:
$|x-x_0|\,<\,\delta\nl|2x-2x_0|\,<\,\varepsilon\Rightarrow |x-x_0|\,<\,\frac{\varepsilon}{2}=\delta$

Pavel Brožek · 09. 12. 2008 18:40

↑ lukaszh:

Řekl bych, že jsi to asi omylem prohodil, měl bys vycházet z $|x-x_0|\,<\,\delta$ a z toho dokázat $|f(x)-f(x_0)|\,<\,\varepsilon$ .

A není to spíše tak, že pokud je funkce spojitá na [a,b], pak je tam darbouxovská (nabývá všech mezihodnot), ale opačná implikace neplatí?

lukaszh · 09. 12. 2008 18:46

↑ BrozekP:
No jo, máš pravdu. Toho darbouxa som prehodil, už som to editoval ("delete" :-D) A v prvom prípade si ty popísal dôkaz, ja som len ukázal aké je delta :-)

Pavel Brožek

↑ lukaszh:

Nerozumím ale tomu

$|x-x_0|\,<\,\delta\nl|2x-2x_0|\,<\,\varepsilon\Rightarrow |x-x_0|\,<\,\frac{\varepsilon}{2}=\delta$ (napiš k tomu komentář, co tu z čeho plyne, možná to pak bude jasnější),

chápal bych to, kdyby to vypadalo takto:

$|x-x_0|\,<\,\delta\nl|f(x)-f(x_0)|=|2x-2x_0|=2|x-x_0|<2\delta=\varepsilon$ .

Joukieee · 10. 12. 2008 14:46

co stoho je spravne? :)

Joukieee · 11. 12. 2008 12:47

nekde sem ted nasel postup...
Ukažte nejdríve, že je-li J inkluze R otevrený interval, je také jeho inverzní
obraz f na minus 1(J) otevreným intervalem. Nyní úvahu zobecnete na libovolnou otevrenou
množinu U inkluze R a ukažte, že f na minus 1(U) je sjednocením otevrených intervalu.

jenze pro mne je to spanelska vesnice tak aspon naznak? prosim :)

Matematické Fórum

#1 09. 12. 2008 18:02

Je funkce spojita?

#2 09. 12. 2008 18:07 — Editoval BrozekP (09. 12. 2008 18:09)

Re: Je funkce spojita?

#3 09. 12. 2008 18:17 — Editoval lukaszh (09. 12. 2008 18:46)

Re: Je funkce spojita?

#4 09. 12. 2008 18:40

Re: Je funkce spojita?

#5 09. 12. 2008 18:46

Re: Je funkce spojita?

#6 09. 12. 2008 18:54 — Editoval BrozekP (09. 12. 2008 18:56)

Re: Je funkce spojita?

#7 10. 12. 2008 14:46

Re: Je funkce spojita?

#8 11. 12. 2008 12:47

Re: Je funkce spojita?

Zápatí