Matematické Fórum

bejf · 15. 01. 2013 16:03

Ahoj, mám další příklad, který bych potřeboval pomoct dotáhnout do konce.

Řešte nerovnici s neznámou $x$ a parametrem $a\in\mathbb{R}$ .
$\frac{x-a}{x+a}\ge -1\nl \frac{x-a}{x+a}+1\ge 0\nl \frac{x-a}{x+a}+\frac{x+a}{x+a}\ge 0\nl \frac{2x}{x+a}\ge 0$

$a=0 \Rightarrow x\in\mathbb{R}-\{0\}$

Akorát mi chybí určit x pro a>0, a<0. Vychází mi to přesně naopak, než by mělo. Nemůžu přijít v čem dělám chybu. Díky za rady.

Andrejka3 · 15. 01. 2013 17:39

↑ bejf:
Našel jsi řešení rovnice pro jednu hodnotu parametru.

Nerovnice má smysl, právě tehdy, když $x+a \neq 0$ , tedy $x \neq -a$ . Kdyby bylo $x=-a$ , dělili bychom vlevo nulou.
Takže pro libovolné pevné $a \in \mathbb{R}$ řešíme nerovnici na $\mathbb{R}\setminus \{-a\}$ .
Ta je ekvivalentní nerovnici
$\frac{2x}{x+a}\geq 0$ .
Rovnost může nastat pouze v případě, kdy čitatel je nula.
Zlomek vlevo je kladný, právě když nastane jedna z následujících situací:
situace čitatel jmenovatel
1) + +
2) - -
kde plus značí kladný, minus záporný.

zdenek1 · 15. 01. 2013 18:01

↑ bejf:
Nakresli si obrázek
a) $a>0$
nulové body jsou $0$ a $-a$ (a $-a<0$ )

Určíš znaménka v příslušných intervalech a vidíš
$x\in(-\infty;-a)\cup\langle0;\infty)$

b) $a<0$
opět nulové body ( $-a>0$ )

$x\in(-\infty,0\rangle\cup(-a;\infty)$

c) $a=0$
máš správně

bejf · 15. 01. 2013 18:04

↑ Andrejka3:
Chápu, jen mi to nějak nevychází.
Situace 1.:
Pokud bude čitatel a jmenovatel kladný
$2x\ge 0 \Rightarrow x\in\langle0;+\infty)\nl x+a>0\Rightarrow x>-a \Rightarrow (-a;+\infty)\nl$
Situace 2.:
Pokud bude čitatel a jmenovatel záporný
$2x\le 0 \Rightarrow x\in(-\infty;0\rangle\nl x+a<0\Rightarrow x<-a \Rightarrow (-\infty;-a)\nl$

A teď? :-)

Mělo by vyjít:
pro a>0
$(-\infty;-a)\cup\langle0;+\infty)$
pro a<0
$(-a;+\infty)\cup(-\infty;0\rangle$

To mě na tom zaráží.

bejf · 15. 01. 2013 18:14

↑ zdenek1:
Aha, já jsem si myslel, že se tam budou měnit znaky nerovnosti. Díky.

Matematické Fórum

#1 15. 01. 2013 16:03

Nerovnice s parametrem

#2 15. 01. 2013 17:39

Re: Nerovnice s parametrem

#3 15. 01. 2013 18:01

Re: Nerovnice s parametrem

#4 15. 01. 2013 18:04

Re: Nerovnice s parametrem

#5 15. 01. 2013 18:14

Re: Nerovnice s parametrem

Zápatí