Matematické Fórum

jurasecek · 17. 01. 2013 12:53

Ahoj, jen se pro jistoto zeptám, mám derivovat $x^{ln x}$

Složená funkce, to chápu, bude to tedy vypadat - $1\cdot \ln x \cdot 1/x$

děkuju

Andrejka3 · 17. 01. 2013 13:06

Ahoj,
popiš prosím přesně ty fce, které skládáš. Výsledek je špatně.

Bati · 17. 01. 2013 13:08

Ahoj,
sice to je složená funkce, ale uvědom si, v jakém je tvaru. Je tam vlastně obecná mocnina, která bere 2 argumenty - základ a exponent - obojí jsou v tomto případě další funkce. Takže to nelze jednoduše derivovat podle pravidla pro složené funkce, protože to funguje jen pro jeden argument.
Tento typ se obvykle dělá převedením na exponecielu: $x^{\ln{x}}=e^{\ln{x^{\ln{x}}}}=e^{\ln^2{x}}$ , což už jde derivovat jako složenou funkci.

PS. Dá se odvodit, že obecně platí: $$f(x)^{g(x)}$'=f(x)^{g(x)}$g'(x)\ln{f(x)}+g(x)\frac{f'(x)}{f(x)}$$ , samozřejmě za příslušných podmínek, kvůli logaritmu.