Matematické Fórum

sandrina · 17. 01. 2013 17:34

Ahoj, poradíte mi prosím někdo s následující limitou?

$\lim_{x\to0}\frac{3}{x^{2}{}}-\frac{sin3x}{x^{3}}$

vím, že tam mám využít znalosti $\frac{sinx}{x}=1$ ale nevim jak se k tomu dostat :( díky za pomoc.

Brano · 17. 01. 2013 18:35 — Editoval Brano (17. 01. 2013 18:35)

Ten vzorec nestaci, bud to daj na spolocneho menovatela a pouzi l'Hospitala (asi 3x) alebo rozvin ten sinus do Taylorovho radu - staci do tretieho radu (t.j. dva nenulove cleny).

jarrro · 17. 01. 2013 18:59

$\frac{3}{x^{2}}-\frac{sin{$3x$}}{x^{3}}=\frac{3x-\sin{$3x$}}{x^3}=\frac{3x-$\sin{\(x$}\cos{$2x$}+\sin{$2x$}\cos{$x$}\)}{x^3}=\nl =\frac{3x-$\sin{\(x$}$\cos^2{\(x$}-\sin^2{$x$}\)+2\sin{$x$}\cos^2{$x$}\)}{x^3}=\nl =\frac{3x-$\sin{\(x$}$1-2\sin^2{\(x$}\)+2\sin{$x$}$1-\sin^2{\(x$}\)\)}{x^3}=\nl =\frac{3x-$\sin{\(x$}-2\sin^3{$x$}+2\sin{$x$}-2\sin^3{$x$}\)}{x^3}=\nl =\frac{3x-$3\sin{\(x$}-4\sin^3{$x$}\)}{x^3}=\nl =\frac{3x-3\sin{$x$}+4\sin^3{$x$}}{x^3}=3\cdot\frac{x-\sin{$x$}}{x^3}+4$\frac{\sin{\(x$}}{x}\)^3$
teda sa problém redukuje na
nájdenie
$\lim_{x\to 0}{\frac{x-\sin{$x$}}{x^3}}$
ktorá sa dá riešiť LHospitalom napr.
dostaneme sa k
$\lim_{x\to 0}{\frac{1-\cos{$x$}}{3x^2}}=\lim_{x\to 0}{\frac{1-\cos^2{$x$}}{3x^2$1+\cos{\(x$}\)}}=\frac{1}{3}\cdot\lim_{x\to 0}{$\frac{1}{1+\cos{\(x$}}$\frac{\sin{\(x$}}{x}\)^2\)}$

lecopivo · 17. 01. 2013 19:44

jarro: ty jsi masochista :D

co pouzit substituci $3x=t$ pak delas limitu z $\frac{27}{t^2} - \frac{27 sin(t)}{t^3} = 27\frac{t-sin(t)}{t^3}$
pouzijes ze $sin(x) = x-\frac{1}{6} x^3 + o(x^3)$ a hned vidis ze vysledek je 27/6

Problem je asi ten, ze to sandrina chce asi elementarneji. Zadny l'Hospital ani Taylor. Bohuzel me ted nenapada jak to udelat.

jarrro · 17. 01. 2013 20:05

↑ lecopivo:hanbím sa,ale nechám to tam,lebo zle to nie je ale mohlo ma to napadnúť

Matematické Fórum

#1 17. 01. 2013 17:34

limita funkce

#2 17. 01. 2013 18:35 — Editoval Brano (17. 01. 2013 18:35)

Re: limita funkce

#3 17. 01. 2013 18:59

Re: limita funkce

#4 17. 01. 2013 19:44

Re: limita funkce

#5 17. 01. 2013 20:05

Re: limita funkce

Zápatí