Matematické Fórum

Sam_Hawkins · 18. 01. 2013 12:36

Zdravím,
zadání příkladu: Zjistěte, zda je diferenciální forma $\omega$ exaktní, pokud ano, najděte formu $\eta$ , pro kterou platí $d\eta =\omega$

s 1-formou je to hračka, horší je, když dostanu například 2-formu, klidně jednoduchý příklad $\omega = dx\wedge dy$ . Po chvilce přmýšlení sice přijdu na to, že $\eta =\frac{1}{2}(x\cdot dy-y\cdot dx)$ ale za boha nemůžu přijít na nějaké elegantní obecné řešení...když si například pro 2-formu $\omega$ označím $\eta = A(x,y,z)dx+B(x,y,z)dy+C(x,y,z)dz$ tak potom dostanu $d\eta = \omega =(B_{x}-A_{y})dx\wedge dy+(C_{y}-B_{z})dy\wedge dz+(C_{x}-A_{z})dx\wedge dz$ (dolní indexy značí parciální derivace)
A řešit soustavu tří parciálních rovnic o třech neznámých mi přijde příliš krkolomné...

Věděl by někdo jak na to jednodušeji?

Díky!

lecopivo · 19. 01. 2013 14:10

Obavam se, ze to moc snadno nepujde. Ale ten problem umim zjednodusit jen na jednu parcialni dif rovnici(tj. ne soustavu)

Uloha k 2-forme w najdi 1-formu v, ze dv=w. Je v podstate uloha(v R^3) k vektorovemu poli B s nulovou divergenci(pokud je w uzavrena) najdi vektorovy potencial A(pismenka A,B volim protoze tento problem uzce souvisi s magnetickym polem a jeho potencialem). To jest najdi A ze rot A = B. No a to se bezne resi tak, ze provedes jeste jednu rotaci na rot A = B. Tedy rot rot A = B. rot rot prepises na grad div - laplace.

Dostates tedy rovnici:

grad div A - laplace A = rot B

jelikoz rot( A + grad f) = rot(A). Tak si muzes vzit pominku ze div A = 0. Pokud by div A != 0. Tak od A odectes grad f, kde laplace f = div A.

Tedy staci vyresit -laplace A = rot B

A pak musi platit rot A = B.

Ted to jeste preformulovat do jazyka diff forem :D. To uz necham na tobe.

Jak to udelat v dimenzi > 3 to ted nemam rozmyslene. Mozna by to slo zobecnit pro n-1-formy(kde n je dimenze prostoru)

Matematické Fórum

#1 18. 01. 2013 12:36

Exaktní diferenciální formy

#2 19. 01. 2013 14:10

Re: Exaktní diferenciální formy

Zápatí