Matematické Fórum

Optix · 15. 01. 2013 17:19

Dobrý den, měl bych takovou, asi pro někoho divnou, otázku.
Kdy používám podmínku pro limity složených funkcí? Nebo vlastně jakou funkci už mám brát jako složenou? Taková odmocnina z nějakého polynomu je už složenou funkcí? Např:
$\sqrt[4]{x^{3}+21}$

Předem děkuji :)

Omlouvám se že jsem napsal více otázek, ale v podstatě je to pouze jedna.

Andrejka3 · 15. 01. 2013 17:25

↑ Optix:
Ahoj, je to pro mě divná otázka. Divné otázky jsou super.
Každá fce lze zapsat jako složení dvou fcí. Přinejmenším identity a sama sebe.

Co to je "podmínky pro limity složených fcí"?

Optix · 19. 01. 2013 10:27

Ahoj,
tou podmínkou pro limitu složených funkcí, myslím to,aby bylo dodrženo:
Že pokud má
$\lim_{x\to a}g(x)=A$
$\lim_{y\to A}f(y)=B$
pak $\lim(f o g)=B$

Pokud (a zde je ta podmínka) $g(x) <> A$ pro $x <> a$ na nejakem okoli. Kde <> znamena nerovna se.
Ja prave mam tuto podminku overovat, ale nevim presne kdy nebot jak jsi napsala kazda funkce se na yapsat jako slozeni dvou funkci, tak nevim jak presne tuto vec overit, snad jsem to nyni napsal trochu smysluplneji.

Andrejka3

↑ Optix:
$\sqrt[4]{x^{3}+21}$
Takže na tomhle mám nějak demonstrovat použití té věty?
Máme co dělat s čtvrtou odmocninou a nějakým polynomem.
Čtvrtá odmocnina je inverzní fce k čvtrté mocnině na $[0,\infty)$ . Tam je mocnina rostoucí a spojitá (v nule zprava spojitá) a tedy i její inverze je rostoucí a spojitá (v nule zprava).
Každý polynom je spojitý, takže tady se hodí ta druhá analogie té věty, kde vůbec není třeba ověřovat tu různost na okolí.

Co třeba spíše $\lim_{x \to 0}\frac{\sin (x^3)}{x^3}$ .
Označme $f(x)=\frac{\sin (x^3)}{x^3} = (g \circ h)(x)$ , kde $h(x)= x^3$ a $g(y)=\frac{\sin y}{y}$ .
Teď, $\lim_{x \to 0}x^3=0$ . Víme, že $\lim_{y \to 0}\frac{\sin y}{y}=1$ . Stačí ověřit, že existuje prstencové okolí nuly, že $h$ jej zobrazí na nenulu. $x^3$ je ale prostá a $0^3=0$ . Jsme hotovi.