Matematické Fórum

Honza90 · 18. 01. 2013 19:45

Dobrý den. Pole $\mathbb{F}$ je uspořádané pokud existuje množina $P\subseteq \mathbb{F}$ a pro $\forall x\in \mathbb{F}$ platí právě jedna z možností:
1. $x\in P$
2. $-x\in P$
3. $x=0_{\mathbb{F}}$

$0_{\mathbb{F}}\in P$ ? Díky.

Andrejka3

↑ Honza90:
Dobrý den.
Je to poněkud málo, myslím. Měly by tam být nějaké podmínky, že se tato množina chová nějak hezky vůči operacím pole, řekla bych.
Poslední podmínka nemá být spíše $1_{\mathbb{F}} \in P$ ?
Aspoň dám odkaz: Wikipedia
Edit: $\mathbb{Z}_3$ je pole, že? Pak bych mohla říct, $P=\{1\}$ a splňuje tvou podmínku. $-1=2 \notin P$ a $0 \notin P$ .
Ale pak $0<1$ a $1<2$ a $2<0$ z monotonie sčítání. Máme cyklus.

Honza90 · 19. 01. 2013 13:28

↑ Andrejka3:
ano, musí platit $x+y\in P$ a $x\cdot y\in P$ pro $\forall x,y\in P$

Když se na to tak dívám, tak bych řekl, že $0_{\mathbb{F}}$ tyto podmínky nijak neporušuje.

Andrejka3

↑ Honza90:
Aha, já nepochopila otázku :)
Kdyby byla $0_{\mathbb{F}}\in P$ , pak by $-0 \notin P_{\mathbb{F}}$ , což nastat nemůže.
Edit: Nebo stále nechápu otázku?
Prostě, celá množina se rozdělí na kladnou část (P), zápornou část (-P) a nulu.

Honza90

↑ Andrejka3:
Chci vědět, zda $0_{\mathbb{F}}\in P$

Andrejka3 · 19. 01. 2013 13:51

Ne. Pokud by byla, pak pro ni nastanou věechny tři možnosti z původní definice. Má nastat právě jedna.

Honza90 · 19. 01. 2013 13:55

↑ Andrejka3:
Souhlasím, jenže v jedněch skriptech se píše, že tam nula patří. Zase proč by jinak nemohla, operace $+$ i $\cdot$ budou na $P$ uzavřené i když v P bude nula.

Andrejka3 · 19. 01. 2013 14:05

Zatím si myslím, že by se nic nezměnilo, jen by se musela přeformulovat definice na začátku - alespoň jedna z následujících možností.

Definuje se uspořádání na $\mathbb{F}$ tak, že $x<y \iff \exists p \in P:\; y=x+p$ . Takhle by stačilo takto definovat neostré uspořádání, zatím nevidím v tom problém.

Andrejka3 · 19. 01. 2013 15:00

↑ Andrejka3:
Kdybychom přeformulovali tu definici na začátku, pak nedostaneme to kýžené disjunktní rozdělení - každý nenulový prvek je kladný anebo záporný. Takže si myslím, že to má spíše význam ten, že se dá napsat ta definice snadno.

Honza90 · 19. 01. 2013 15:14

↑ Andrejka3:
Konečná pole nelze uspořádat.

Andrejka3

↑ Honza90:
Ano, jistě. Dá se do nich vnořit $\mathbb{Q}$ (do těch uspořádaných).

Honza90 · 19. 01. 2013 19:30

↑ Andrejka3:
To vnoření mi trochu přibliž, prosím.

Andrejka3 · 19. 01. 2013 20:26

$1 \in P \subset \mathbb{F}$ , protože $(-1)^2=1$ , takže kdyby $-1 \in P$ , máme spor.
$n \times 1 := \underbrace{1+1+\dots +1}_{n \text{ krát}}$ , pro $n \in \mathbb{N}^+$ .
Když si označím $E=\{n \times 1 ; \; n \in \mathbb{N} \}$ , je tato struktura s + a násobením tělesa a uspořádáním (restrikcemi) izomorfní komutativnímu monoidu $\mathbb{N}$ přirozených čísel s obvyklým sčítáním, násobením a uspořádáním.
Definice $n \times 1$ lze přirozeně rozšířit na $n \in \mathbb{Z}$ , $0 \times 1 = 0$ , $z \times 1 = (-z)\times (-1)$ pro $z$ záporné. Příslušná množina $\{z \times 1; z \in \mathbb{Z}\}$ je pak s restrikcemi operací a uspořádání izomorfní uspořádanému oboru integrity $\mathbb{Z}$ celých čísel.

Mějme $n \in \mathbb{N}$ .
$(n \times 1)>0$
$(n \times 1)^{-1} \neq 0$ . Z monotonie na nasobeni kladnymi prvky plyne, ze se relace zachova po vynasobeni $n \times 1$ , takze $(n \times 1)^{-1} >0$ . Odtud je asi vidět, jak definovat $\frac{1}{n} \times 1$ a jak dostat strukturu izomorfni s $\mathbb{Q}$ .