Matematické Fórum

Blackflower · 20. 01. 2013 17:11

Zdravím, mám tento príklad:
Zistite, či postupnosť $x^n=(\frac{1}{n},\frac{1}{n^2})^T$ konverguje v $\mathbb{R}^2, ||.||_2$ .
Keď sa na to pozriem, vidím, že zjavne sa to bude blížiť k $(0,0)$ , len neviem, ako mám použiť tú normu v tomto a najmä v iných príkladoch, kde to až tak vidno nebude. Vedel by ma niekto aspoň nakopnúť?
Vopred ďakujem.

vanok · 20. 01. 2013 17:21

Pozdravujem,
Mozes vyuzit to, ze v tvojom priestore 2 lubovolne normy su ekuivalentne.

jarrro · 20. 01. 2013 17:22 — Editoval jarrro (20. 01. 2013 17:25)

postupnosť bodov v metrickom priestore konverguje k bodu toho priestoru práve vtedy keď vzdialenosti konvergujú v reálnych číslach k nule tu máme
$\varrho{$x^n,\(0,0$^T\)}=\left\|x^n-$0,0$^T\right\|_2=\sqrt{$\frac{1}{n}-0$^2+$\frac{1}{n^2}-0$^2}=\nl =\sqrt{\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^4}}\to 0\Rightarrow x^n\stackrel{\left\|.\right\|_2}{\to}$0,0$^T$
alebo ako píše vanok miesto odmocniny zobrať napr. maximum alebo súčet, ale takýto prechod k ľubovoľným normám nemusí fungovať v nekonečno rozmerných priestoroch napr.priestoroch funkcií a podobne.

Blackflower

↑ vanok: Skúsila som si to rozpísať, neviem, či nie som úplne mimo:
$||x||_a\le C_1||x||_b$
$||x||_b\le C_2||x||_a$
Z toho: $\frac{1}{C_2}||x||_b\le ||x||_a\le C_1||x||_b$
Zvolila som si jednotkovú normu (súčet súradníc - norma a) a tú, čo mám v zadaní (norma b):
$||x^n||_a=|\frac{1}{n}|+|\frac{1}{n^2}|=\frac{n+1}{n^2}$
$||x^n||_b=\sqrt{\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^4}}=\sqrt{\frac{n^2+1}{n^4}}$
Teraz to "dosadím" do nerovnice, ktorá mi vznikla z definície ekvivalentných noriem:
$\frac{1}{C_2}\sqrt{\frac{n^2+1}{n^4}}\le \frac{n+1}{n^2}\le C_1\sqrt{\frac{n^2+1}{n^4}}$
$\frac{1}{C_2}\le \frac{\frac{n+1}{n^2}}{\sqrt{\frac{n^2+1}{n^4}}}\le C_1$
$\frac{1}{C_2}\le\frac{n+1}{n^2}\frac{n^2}{\sqrt{n^2+1}}\le C_1$
$\frac{1}{C_2}\le\frac{n+1}{\sqrt{n^2+1}}\le C_1$
Teraz si môžem zvoliť také konštanty, aké sa mi hodia? (keďže v definícii ekvivaletných noriem sa píše $\exists C_1, C_2>0$ )

EDIT : Alebo stačí povedať, že keď to konverguje v jednej norme, tak to konverguje aj v druhej?

Blackflower · 20. 01. 2013 17:45

↑ jarrro: My sme mali takúto definíciu: Hovoríme, že postupnosť $\{x^n\}$ má limitu $x\in X$ (X je ten základný priestor), ak $\lim_{n\to \infty}||x^n-x||=0$ .
To je to isté, čo si napísal?

jarrro · 20. 01. 2013 18:04 — Editoval jarrro (21. 01. 2013 10:11)

↑ Blackflower:áno tak som to myslel šípky používam v zmysle
$a_n\to a\Leftrightarrow \lim_{n\to\infty}{a_n}=a\nl x_n\stackrel{\left\|.\right\|_2}{\to}x\Leftrightarrow \left\|x_n-x\right\|\to 0$
áno ekvivalencia noriem je o tom, že ak konverguje nejaká postupnosť k nejakému bodu v jednej tak aj v druhej norme a tiež naopak teda miesto overovania, že
$\lim_{n\to\infty}{\sqrt{\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^4}}}=0$
môžeš overovať, že napr.
$\lim_{n\to \infty}{\left|\frac{1}{n}\right|+\left|\frac{1}{n^2}\right|}=0$
alebo
$\lim_{n\to\infty}{$\max{\{\left|\frac{1}{n}\right|,\left|\frac{1}{n^2}\right|\}}$}=\lim_{n\to\infty}{\frac{1}{n}}=0$

Blackflower · 20. 01. 2013 18:07

↑ jarrro: Neviem, či to správne chápem, ale keď dokazujem niečo takto z definície, tak tam tú limitu proste musím vidieť... či nie?

jarrro · 20. 01. 2013 18:29

↑ Blackflower:veď jasné vždy keď uvidíš šipku si musíš predstaviť limitu len keď to píšeš niekde tak je pohodlnejšie niekde na začiatok napísať definíciu "šípky" a už len písať šípkovú notáciu má to menej znakov ako limita,ale znamená to to isté podobne ako sa píšu napr. kongruencie
niekde na začiatku sa povie, že
$a\left|b\right.\Leftrightarrow a\text{ delí } b\nl a\equiv_c b\Leftrightarrow c\left|\right.$b-a$$
a už sa ďalej používa sa daná notácia,ale vlastnosti vzťahy sa dokazujú prípaden overujú tak, že sa pozerá či je splnená pravá strana ekvivalencie v definícii

Blackflower · 20. 01. 2013 18:31

↑ jarrro: Myslela som to skôr tak, že či musím hneď vidieť, že limita výrazu je rovná napríklad nule, alebo či hodnotu limity viem dostať aj priamo z toho vzorca.

vanok · 20. 01. 2013 18:31 — Editoval vanok (20. 01. 2013 18:32)

Zasa som sa zapojil na sekundu.

Iste si videla, ze v tomto pripade norma Max je najsympatickejsia.
Na dokaz ekvivalentnosti v konecnej dim na Google najdes plno dokazov. ( hladaj po engl. )

Idem pokracovat z robotou v dome.

jarrro · 20. 01. 2013 18:56 — Editoval jarrro (23. 01. 2013 10:37)

↑ Blackflower:tak keď máš typ na limitu tak dokazuješ,že limita normy rozdielov je nula
keby si tú limitu hľadala, teda že nevieš alebo ťa nenapadne hneď ako vyzerá tak by si hľadala také a, b,
pre ktoré
$\lim_{n\to\infty}{\sqrt{$\frac{1}{n}-a$^2+$\frac{1}{n^2}-b$^2}}=0$
teda
$\lim_{n\to\infty}{\sqrt{\frac{1}{n^2}-\frac{2a}{n}+a^2+\frac{1}{n^4}-\frac{2b}{n^2}+b^2}}=0\nl \lim_{n\to\infty}{\sqrt{\frac{n^2-2an^3+a^2n^4+1-2bn^2+b^2n^4}{n^4}}}=0\nl \lim_{n\to\infty}{\sqrt{\frac{$a^2+b^2$n^4-2an^3+$1-2b$n^2+1}{n^4}}}=0$
z toho vidno, limita má šancu byť nulová len keď
$a^2+b^2=0$
teda keď
$$a,b$^{T}=$0,0$^{T}$

Blackflower · 20. 01. 2013 18:57

↑ jarrro: Si úplný šéf! Vďaka :)

Matematické Fórum

#1 20. 01. 2013 17:11

Postupnosť - konvergencia

#2 20. 01. 2013 17:21

Re: Postupnosť - konvergencia

#3 20. 01. 2013 17:22 — Editoval jarrro (20. 01. 2013 17:25)

Re: Postupnosť - konvergencia

#4 20. 01. 2013 17:40 — Editoval Blackflower (20. 01. 2013 18:01)

Re: Postupnosť - konvergencia

#5 20. 01. 2013 17:45

Re: Postupnosť - konvergencia

#6 20. 01. 2013 18:04 — Editoval jarrro (21. 01. 2013 10:11)

Re: Postupnosť - konvergencia

#7 20. 01. 2013 18:07

Re: Postupnosť - konvergencia

#8 20. 01. 2013 18:29

Re: Postupnosť - konvergencia

#9 20. 01. 2013 18:31

Re: Postupnosť - konvergencia

#10 20. 01. 2013 18:31 — Editoval vanok (20. 01. 2013 18:32)

Re: Postupnosť - konvergencia

#11 20. 01. 2013 18:56 — Editoval jarrro (23. 01. 2013 10:37)

Re: Postupnosť - konvergencia

#12 20. 01. 2013 18:57

Re: Postupnosť - konvergencia

Zápatí