Matematické Fórum

Ninten · 19. 01. 2013 14:14

Zdravim, prosim o pomoc...

$\int \frac{1-\sqrt{x+5}}{1+\sqrt{x+5}}$

${x+5}$ dam do substituce a vyjde mi $\int \frac{1-\sqrt{t}}{1+\sqrt{t}}$
Nevim jak dal ten zlomek upravit (roznasobit, vydelit ?)

Hanis · 19. 01. 2013 14:17

Ahoj,

dopočítané to nemám, ale snad by pomohlo rozšířit výrazem $1-\sqrt{t}$

jarrro · 19. 01. 2013 14:23

rozdeliť na
$-1+\frac{2}{1+\sqrt{t}}$
$z^2=t\nl 2zdz=dt$
$\frac{1}{1+\sqrt{t}}\mathrm{d}t=\frac{2z}{1+z}\mathrm{d}z$

Bati · 19. 01. 2013 14:24

↑ Hanis:
To nebude stačit, po takovém rozšíření tam přinejmenším zbude něco jako $\frac{\sqrt{t}}{1-t}$ a bude třeba dělat další substituci.

Já bych to dělal tak, že bych nebyl na začátku tak skromný v té substituci. Zvolil bych asi $t=\sqrt{x+5}$ , ale $t=\frac{1-\sqrt{x+5}}{1+\sqrt{x+5}}$ by také šlo.

Hanis · 19. 01. 2013 15:35

↑ Bati:

No po té substituci dostaneš 3 zlomky, 2 zintegruješ bez problémů a pro třetí substituce t=z^2.

Ninten · 19. 01. 2013 16:09

No ja teda osobne se tady s tim pocitam a porad nevim jak dal. Pokud to je jak pise jarrro. Pak nechapu to rozdeleni.

Ninten · 20. 01. 2013 09:13

Mohl bych se teda zeptat na trivialni dotaz a to jak ten zlomek rozlozit podle jarrra? Koukam, ze integraly umim, ale zakladni rozlozeni ne.

Bati · 20. 01. 2013 11:52

$\frac{1-\sqrt{x+5}}{1+\sqrt{x+5}}=\frac{2-(1+\sqrt{x-5})}{1+\sqrt{x+5}}=\frac2{1+\sqrt{x+5}}-1$

Ninten · 20. 01. 2013 12:25

↑ Bati:

Ja jsem asi natvrdlej, ale nevidim v tom nic. To je tak dany ? Nebo se to rozsirilo ? To konecny chapu, ze se to rozdelilo na 2 zlomy a zkratilo (proto ta -1), ale podle ceho se tam dosadila ta 2 ?

Bati · 20. 01. 2013 13:09

↑ Ninten:
Nic, jsem nedosazoval, jen jsem to přičetl a odečetl. Nejrychleji to asi pochopíš, když si zkusíš převést $\frac2{1+\sqrt{x+5}}-1$ na společný jmenovatel a pak si ty úpravy projdeš znovu od konce.

Bati · 20. 01. 2013 13:15

↑ Ninten:
Na střední škole si lidé často vsugerujou, že rovnítko funguje jako jakási implikace, která funguje jedním směrem a slouží k zapisování úprav výrazů. To je ale chyba, protože rovnost $=$ je relace, která je ekvivalencí a tudíž je symetrická a tranzitivní, a je třeba ji tak i číst.

Ninten · 20. 01. 2013 16:46

↑ Bati:

Spolecnyho jmenovatele jsem si zkousel u predtim, ale ja v tom porad nic nevidim. To k tomu mam ze zacatku pricit +1 ? A jak se rika, kdyz neco prictu v zaveru musim neco odecist (-1)? Chybi mi asi zaklad, ale nevim proc se ta + 1 musi k tomu pricist.

jarrro · 20. 01. 2013 17:06 — Editoval jarrro (20. 01. 2013 17:07)

$\frac{1-\sqrt{t}}{1+\sqrt{t}}=\frac{-1-\sqrt{t}+2}{+1+\sqrt{t}}=\frac{-1$1+\sqrt{t}$+2}{1+\sqrt{t}}=\nl =\frac{-1$1+\sqrt{t}$}{1+\sqrt{t}}+\frac{2}{1+\sqrt{t}}=-1+\frac{2}{1+\sqrt{t}}$
podrobnejšie to už nejde jednoducho sa treba kuknúť a uvidieť

Ninten · 20. 01. 2013 17:38

Dekuji za rady, ale ja to v tom prvnim kroku proste nevidim, nenapadlo by me to takhle udelat, zbytek je mi jasny, ale ten zacatek vubec nechapu.
Ted jsem si to teda zkusil. Na zacatku jsem pripocital +1 a vyslo mi $\frac{2}{1+\sqrt{t}}$ A neco jako doplneni na ctverec(ale to asi neni tenhle pripad), kdyz jsem na zacatku 1 pripocital tak ji v zaveru taky musim odecist tudiz $\frac{2}{1+\sqrt{t}}-1$ Jestli si to timhle zpusobem muzu vysvetli tak ok, ale nevim proc na zacatku zrovna +1.

Bati · 20. 01. 2013 17:48

↑ Ninten:
1 proto, abys to pak mohl dobře podělit, kdybych měl např. zlomek $\frac{2x}{x+5}$ a přičetl a odečetl např. $\pi$ : $\frac{2x+\pi-\pi}{x+5}$ , tak je mi to absolutně k ničemu. Kdežto, když si přičtu a odečtu 10, tak dostanu $\frac{2x+10-10}{x+5}=2-\frac{10}{x+5}$ . Je třeba přemýšlet trochu dopředu.

jarrro · 20. 01. 2013 17:56

tak poďme všeobecne snáď to bude lepšie pochopiteľné
$\frac{a+bz}{c+dz}=\frac{b}{d}\cdot\frac{\frac{a}{b}+z}{\frac{c}{d}+z}=\frac{b}{d}$\frac{\frac{c}{d}+z+\frac{a}{b}-\frac{c}{d}}{\frac{c}{d}+z}$=\nl =\frac{b}{d}$1+\frac{\frac{a}{b}-\frac{c}{d}}{\frac{c}{d}+z}$=\frac{b}{d}+\frac{\frac{a}{d}-\frac{bc}{d^2}}{\frac{c}{d}+z}=\frac{b}{d}+\frac{ad-bc}{cd+d^2z}$

Ninten · 20. 01. 2013 19:12

Jo jo ja samotnymu rozkladu a postupu rozumim, me jenom jde o to, jak si mam uvedomit, ze zrovna s danym cislem musim pocitat. V mym pripade 1.

jelena · 21. 01. 2013 01:06

↑ Ninten:

Zdravím, nalezeno při úklidu:

me jenom jde o to, jak si mam uvedomit, ze zrovna s danym cislem musim pocitat. V mym pripade 1.

Ty nepočítáš s daným číslem. Ty upravuješ čitatel tak, aby jsi v něm viděl jmenovatel a mohl čitatel jmenovatelem podělit "člen po členu" (přitom hodnotu čitatele nesmíš změnit). $\frac{1-\sqrt{x+5}}{1+\sqrt{x+5}}=\frac{1+\sqrt{x+5}-2\sqrt{x+5}}{1+\sqrt{x+5}}=\frac{(1+\sqrt{x+5})-2\sqrt{x+5}}{1+\sqrt{x+5}}$

To je stejné, když máš: $\frac{7}{5}=\frac{5+2}{5}$ jak to dopadne, když podělíš člen po členu za účelem vyčlenění celé časti?
A jak dopadne: $\frac{1}{5}=\frac{5-4}{5}$

Děkuji.

Ninten · 21. 01. 2013 12:21 — Editoval Ninten (21. 01. 2013 12:32)

↑ jelena:
Princip chapu, ale v tomhle konkretnim prikladu to proste nevidim, jak to upravit, abych mohl kratit. I to podrobny rozepsani mi nic nerika a nerozumim tomu.
$\frac{(1+\sqrt{x+5)}-2\sqrt{x+5}}{1+\sqrt{x+5}}$ rozlozim na $\frac{(1+\sqrt{x+5)}}{1+\sqrt{x+5}}$ a $\frac{-2\sqrt{x+5}}{1+\sqrt{x+5}}$

To prvni pokratim a je to jedna a to druhy ? Tady uz je teda problem v tom, ze neumim kratit.

jelena · 21. 01. 2013 12:32

:-) upravuj, prosím, abys vyčlenil celou část (1) ze zlomku:

$\frac{1-3\heartsuit}{1+\heartsuit}$

Děkuji.

jelena · 21. 01. 2013 12:51

↑ Ninten:

reaguji na EDIT:

$\frac{(1+\sqrt{x+5)}}{1+\sqrt{x+5}}=1$ jelikož mezi sebou dělíš zcela stejné výrazy.

druhý používáš pro substituci, abys viděl, tak první substituce je $x+5=t$ :
$\frac{-2\sqrt{x+5}}{1+\sqrt{x+5}}=\frac{-2\sqrt{t}}{1+\sqrt{t}}$
druhá substituce je $t=z^2$ (což je totéž jako $\sqrt t=z$ ), odsud $\d t=2z\d z$
Proto 2. zlomek je dobře připraven k integrování:
$\frac{-2\sqrt{t}}{1+\sqrt{t}}=\frac{-2z}{1+z}$ nezapomenout při použití v integrálu na substituci dt za 2zdz.

Když už kroky umíš, potom rovnou můžeš používat substituci výrazu pod odmocninou za čtverec jiné promenné:
$x+5=z^2$ .

Ještě pořád není něco vidět? Děkuji.

Ninten · 21. 01. 2013 13:05

↑ jelena:
Jo dekuji to uz se teda dostavame k substituci, ktere rozumim, ale ja od zacatku reagoval na jarrra jak psal rozlozit na:.....
Me jde o to, ze kdyz dostanu takovy priklad tak v tom nevidim zadny zpusob jak to rozlozit. I kdyz mi tady pisete postupy jak na to, me to proste nedojde co a jak presne.

jelena · 21. 01. 2013 13:40

↑ Ninten:

to nevím, co bych tak v rychlosti poradila: u integrálu jsou také standardizované metody, ale ve velké míře záleží, jak umíš pracovat s úpravou výrazu, abys zadaný integrál připravil pro metodu. Tedy snad ještě si zopakovat: úpravy výrazů pomocí vzorců, rozšíření, usměrnění zlomků, dělení mnohočlenu mnohočlenem, goniometrické vzorce apod.

Pro základní orientaci se hodí tato stránka ("šuplíky") + zkoušet možné varianty krokově pomocí MAW (viz také galerie integrálů).

Jinak zde zadaný integrál má více postupů k řešení (osobně bych v 1. kroku postupovala jako kolega ↑ Hanis:). Ono to dojde, až máš dostatečně nacvičeno (potom zebru vidíš :-) v odkazu chybí pdf s přehledem metod integrování, musím se poptat v Lážově.

Už jsi se zorientoval?

Ninten · 21. 01. 2013 13:49

↑ jelena:
Dekuji za vasi ochotu a cas, tenhle problem vyresim leda pocitanim porad dokala podobnych prikladu, abych to do toho oka dostal a hned na zacatku vedel jak mam pokracovat. Kouknu na to poradne a neco s tim zkusim udelat. Tema uzavru, s tim uz se budu muset poprat sam :-)
Tak jeste jednou dekuji vsem za svuj cas a ochotu. :-)

Matematické Fórum

#1 19. 01. 2013 14:14

Integral substitucni metodou.

#2 19. 01. 2013 14:17

Re: Integral substitucni metodou.

#3 19. 01. 2013 14:23

Re: Integral substitucni metodou.

#4 19. 01. 2013 14:24

Re: Integral substitucni metodou.

#5 19. 01. 2013 15:35

Re: Integral substitucni metodou.

#6 19. 01. 2013 16:09

Re: Integral substitucni metodou.

#7 20. 01. 2013 09:13

Re: Integral substitucni metodou.

#8 20. 01. 2013 11:52

Re: Integral substitucni metodou.

#9 20. 01. 2013 12:25

Re: Integral substitucni metodou.

#10 20. 01. 2013 13:09

Re: Integral substitucni metodou.

#11 20. 01. 2013 13:15

Re: Integral substitucni metodou.

#12 20. 01. 2013 16:46

Re: Integral substitucni metodou.

#13 20. 01. 2013 17:06 — Editoval jarrro (20. 01. 2013 17:07)

Re: Integral substitucni metodou.

#14 20. 01. 2013 17:38

Re: Integral substitucni metodou.

#15 20. 01. 2013 17:48

Re: Integral substitucni metodou.

#16 20. 01. 2013 17:56

Re: Integral substitucni metodou.

#17 20. 01. 2013 19:12

Re: Integral substitucni metodou.

#18 21. 01. 2013 01:06

Re: Integral substitucni metodou.

#19 21. 01. 2013 12:21 — Editoval Ninten (21. 01. 2013 12:32)

Re: Integral substitucni metodou.

#20 21. 01. 2013 12:32

Re: Integral substitucni metodou.

#21 21. 01. 2013 12:51

Re: Integral substitucni metodou.

#22 21. 01. 2013 13:05

Re: Integral substitucni metodou.

#23 21. 01. 2013 13:40

Re: Integral substitucni metodou.

#24 21. 01. 2013 13:49

Re: Integral substitucni metodou.

Zápatí