Matematické Fórum

Vincee · 18. 01. 2013 17:51

Zdravím,
chtěl jsem se zeptat zda by mi někdo polopaticky vysvětlil jak poznám zda je integrál nezávislý na integrační cestě? Jakého výsledku se musím dobrat?

Děkuji

kaja.marik · 18. 01. 2013 22:51

Asi integral druheho druhu, ze? To pole musi byt gradientem nejakeho skalarniho pole.

http://en.wikipedia.org/wiki/Gradient_theorem

Vincee · 19. 01. 2013 00:39 — Editoval Vincee (19. 01. 2013 01:45)

↑ kaja.marik:
Ano druhého druhu.
Odkaz si umim take najit, ale nemam tolik času abych luštil co to všechno znamena. Může mi někdo např. na tomto příkladu ukazat proč nezávisí na integrační cestě?

Vcelku chápu postup. Rozdělím int. na P a Q které pak zderivuju dle y a x .
Po té integruju podle t a dosazuju bod [0,0]. nakonec dosazení bodů do výsledku.

Mam dvě otázky.

Která část výpočtu dokazuje že je integrál nezávislý.
Proč dosazuji bod počátku do mezí integrálu.

Díky za případnou námahu při vysvětlení.

Dodatečně zmiňované vztahy:

Brano · 19. 01. 2013 01:17

Zjednodusene povedane to ze splna podmienku $P'_y=Q'_x$ zaruci, ze integral nezavisi od cesty co je ekvivalentne tomu, ze sa da najst ten potencial $\phi$ . Potom integral po akejkolvek ceste z $A$ do $B$ je rovny $\phi(B)-\phi(A)$ . To ako konkretne v tomto pripade urcili potencial je mi trochu zahadou - odvolavaju sa totiz na nejake vztahy co si nevlozil. Ak je tebe jasne ako sa potencial hlada, tak je vsetko OK, ak nie tak mozem napisat ako by som to robil ja.

Vincee · 19. 01. 2013 01:24 — Editoval Vincee (19. 01. 2013 01:26)

↑ Brano:
Takže pro zjištění nezávislosti tedy stačí zderivovat a porovnat výsledky zda se shodují, dobře. Takhle jednoduše tomu konečně rozumím.
Vložím sem ty vztahy zatím můžeš také napsat jak bys to dělal.

Brano · 19. 01. 2013 02:01

Pointa je, ze $\phi$ je taka funkcia, ze musi splnat $d\phi=Pdx+Qdy$ , t.j. jej diferencial sa rovna podintegralnemu vyrazu; cize $\phi'_x=P$ a $\phi'_y=Q$ - a treba vyriesit tuto sustavu PDR. Z prvej rovnice dostanes, ze $\phi$ je integral $P$ podla $x$ a teda $y$ povazujes za kontantu a zintegrujes $\phi=xy^3+f(y)$ - neurcity integral tam ma ako obvykle nejaku konstantu, len teraz moze zavisiet aj od $y$ - to dosadis do druhej rovnice a dostanes $\phi'_y=3xy^2+f'$ a to sa ma rovnat $Q=3xy^2$ teda $f'=0$ cize $f=C$ - tentokrat uz obycajna konstanta - dosadis naspat do $\phi$ a mas to - $\phi=xy^3+C$ . Na tej konstante nezalezi, lebo po dosadeni hranic vypadne.

PS: mohlo by sa stat, ze by to bolo trosku komplikovanejsie - t.j. ze by $f$ vyslo ako nejaka funkcia od $y$ + $C$ - konstanta.

Brano · 19. 01. 2013 02:04

Ten tvoj text mi pripada trochu divny - tam sa miesa integral v rovine s integralom v $R^3$ - no neviem - a aj tak je to nejake nekompletne. Tak ako som to opisal by to mohlo byt jasne, nie?

Vincee · 19. 01. 2013 12:02

↑ Brano:
Rozumim tomu dobře že konstantu vubec neřešim?
Jinak ten material ze ktereho jsem čerpal je zde:
http://www.studopory.vsb.cz/studijnimat … _obsah.pdf

Brano · 19. 01. 2013 12:20 — Editoval Brano (19. 01. 2013 12:47)

To je ako pri neurcitom integrale vs. urcitom - t.j. napriklad $\int 2xdx=x^2+C$ a potom $\int_0^2=(2^2+C)-(0+C)=4$ - to $C$ vypadlo takze ak si vedel, ze nakoniec budes riesit urcity integral, tak si sa nanho mohol hned vykaslat, ale tu uvahu s tym $f$ musis urobit skus si napr. vypocitat priklad kde $P=y^3$ a $Q=3xy^2+y$ .

Dalsia poznamka je, ze v podstate by si na zaciatku nepotreboval ani nic overovat (ak to nie je explicitne v zadani) lebo akonahle sa ti podari najst potencial, tak tie podmienky museli platit. Skus si znova napr. co sa stane ak $Q=3xy^2+x$ - tu tie podmienky nie su splnene a ak si vyskusas ten postup tak to zlyha na tom, ze dostanes $f(y)=x$ cize funkcia $y$ by mala zavisiet od $x$ a to nemoze byt, cize potencial neexistuje.

A posledna poznamka je, ze sa tento postup da prirodzene rozsirit aj na viac rozmerov.

edit: tak uz som si precital ten tvoj text. - v podstate je to to iste co som hovoril a mas vsetko zhrnute vo vete 4.5.1 - na konci su vzorce na vypocitanie $\phi$ , ktore sa daju odvodit z tej metody ako som ti ju popisal, tak mozes pouzit co sa ti viac paci. Ja osobne vzdy preferujem metodu pred vzorcom, lebo vzorec si nikdy neviem zapamatat.

Vincee · 19. 01. 2013 12:52

↑ Brano:
Ano píšou tam že hodnota integrálu nezávisí na tvaru křivky, potom je integrál nezávislý na integrační cestě.
Ale pro počítání příkladu musim vedet co to přesně znamena, tzn že derivace části dle dx a dle dy se musí rovnat, a to jsem nevěděl. Nebo jsem to z toho jaksi nedokazal vyčíst

Brano · 19. 01. 2013 13:03

Iste to prve je len definicia pojmu, ale to ze to plati vies overit dvoma sposobmi.
1) overis ze plati ta identita s derivaciami (v troch rozmeroch to je $rot (P,Q,R)=0$ )
2) overis, ze sa da najst potencial $\phi$ (najlepsie tak ze ho rovno najdes)

V podstate staci urobit 1) alebo 2) na to aby si overil nezavislost od cesty - to druhe musi potom tiez platit (veta 4.5.1). Totizto ten integral mozes pocitat aj dosadenim parametrizacie krivky, bez toho aby si hladal potencial.

Avsak mnohe zadania prikladov explicitne hovoria: "urob 1) a aj 2)".

Rumburak

↑ Vincee:
V $\mathbb{R}^2$ je to dobře patrné z Greenovy věty , jejímž tvrzením je vzorec

(1) $\int_{k}(P\,\mathrm{d}x + Q \,\mathrm{d}y) = \iint_M $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} $\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$

(předpokládá se zde, že $k$ je křivka kladně orientovaná vzhledem k oblasti $M$ , jejíž je hranicí,
funkce $P, Q$ a jejich parciální derivace 1. řádu jsou spojité na uzávěru oblasti $M$ ).

Zřejmě platí:

jestliže $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \equiv 0$ v $M$ , potom oba integrály v (1) jsou rovny 0.

Dá se dokázat i "obrácené" tvrzení - v následujícím tvaru:
jestliže pro každou uzavřemou křivku $c$ ležící v $M$ je $\int_{c}(P\,\mathrm{d}x + Q \,\mathrm{d}y) = 0$ ,
potom $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \equiv 0$ v $M$ .

Když dále uzavřenou křivku $c$ z rovnice $\int_{c}(P\,\mathrm{d}x + Q \,\mathrm{d}y) = 0$ rozdělíme na dva oblouky $c_1 , c_2$ tak,
aby $c = c_1 + c_2$ , dostáváme

$0= \int_{c_1 + c_2}(P\,\mathrm{d}x + Q \,\mathrm{d}y) = \int_{c_1}(P\,\mathrm{d}x + Q \,\mathrm{d}y) +\int_{c_2}(P\,\mathrm{d}x + Q \,\mathrm{d}y)$ ,

$\int_{c_1}(P\,\mathrm{d}x + Q \,\mathrm{d}y) =-\int_{c_2}(P\,\mathrm{d}x + Q \,\mathrm{d}y) =\int_{-c_2}(P\,\mathrm{d}x + Q \,\mathrm{d}y)$ ,

což znamená nezávislost na volbě integrační cesty mezi křivkami $c_1, - c_2$ .

Zobecněním Greenovy věty do $\mathbb{R}^3$ s analogickými důsledky je Stokesova věta.

Vincee · 19. 01. 2013 18:39 — Editoval Vincee (19. 01. 2013 18:40)

↑ Brano:
jak jsi myslel tohle v tom druhem příspěvku? někam dosazujes Y ? nebo jsem to jen špatně pochopil?
"len teraz moze zavisiet aj od $y$ - to dosadis do druhej rovnice a dostanes
$\phi'_y=3xy^2+f'$ "

Brano · 19. 01. 2013 23:14 — Editoval Brano (19. 01. 2013 23:16)

Myslel som to takto: neurcity integral je taka funkcia ktoru ked zderivujes tak dostanes to co si integroval - cize aka je najvseobecnejsia fukcia co splna $\phi'_x=y^3$ no predsa $\phi=xy^3+f(y)$ , lebo ked to derivujes podla $x$ tak $y$ sa chova ako konstanta. Teraz uz vies nieco viac o $\phi$ , ale stale tam mas nejaku neznamu funkciu zavislu od $y$ . To co vies dosadis do tej druhej rovnice a dostanes $3xy^2+f'(y)=\phi'_y=Q=3xy^2$ cize $f'=0$ atd... dopocitas $f$ dosadis naspat a mas vysledok.

Vincee · 20. 01. 2013 00:47 — Editoval Vincee (20. 01. 2013 00:54)

↑ Brano:
Asi pomalu začinam chapat jak to myslíš, ale zasekl jsem se u toho dosazovani $3xy^2+f'(y)=\phi'_y=Q=3xy^2$
chápu $3xy^2$ to je Q ale dal nechapu $f'(y)$
Jednak nechapu kde jsi ho vzal, a pokud už to nějak poberu tak bych tam čekal spíš analogicky k předchozímu kroku spíš $f'(x)$ .
Jelikož při počítání $\phi'_x=y^3$ jsi došel k $f'(y)$

Tak při počítání $\phi'_y=Q$ bych čekal teda $f'(x)$

ale nerozumim tomu takže se rád necham poučit.

Brano · 20. 01. 2013 00:54

vies $\phi=xy^3+f(y)$
aka je potom derivacia podla $y$
a ked ju vypocitas tak ten vyraz dosad do rovnice $\phi'_y=Q$
aku rovnicu dostanes?

Vincee · 20. 01. 2013 01:04 — Editoval Vincee (20. 01. 2013 01:12)

↑ Brano:
Už jsem to pochopil, je to takovej kruh uzavřenej :-)
dostaneš
$3xy^2+f'(y)=3xy^2$
takže by mělo platit $f'(y)=0$

Vincee · 20. 01. 2013 19:07 — Editoval Vincee (20. 01. 2013 19:13)

↑ Vincee:
mam nejasnosti když se podívám na tohle video http://www.studopory.vsb.cz/studijnimat … index.html mam nejasnosti.
Za výsledek beru součet obou integrálů s tím že shodující členy beru jen jednou?
$F(x,y)$ je tedy zminovaný potenciál? a pokud ano proč je roven konstantě? měl jsem pocit že konstanta je jeho součástí, ne že je jí roven.

Díky za trpělivost,

Brano · 20. 01. 2013 19:46 — Editoval Brano (20. 01. 2013 19:50)

Podla toho videa by som sa nejak velmi neriadil, nezda sa mi velmi systematicke, aj ked je ten postup v podstate spravne (az na ten preklep - namiesto $=C$ tam ma byt $+C$ ) ale clovek musi fakt presne vediet co robi. Tam neide o to, ze cleny ktore sa opakuju beries iba raz, ale cleny co obsahuju aj $x$ aj $y$ beries iba raz a este k tomu sa musia zhodovat inak by bolo cosi v neporiadku. Totizto na konci toho prveho integralu by si mal mat este $+f(y)$ a druhehu $+g(x)$ a z toho to akoze uhadnes.

Ja osobne by som sa radsej drzal postupu co som napisal.

PS: Keby mne niekto napisal taketo riesenie prikladu, tak by som mu to asi neuznal, alebo by som mu strhol dost vela bodov. Tym netvrdim, ze to je zle, ale ze to je nedostatocne zrozumitelne.

Vincee · 20. 01. 2013 19:58

↑ Brano:
Ale je zvlastni ze tam maji to $=C$ i u toho dalšího postupu příkladu. Člověk pak neví jakemu zdroji muže věřit..
takže říkáš do jednotlivých integrálů přidávat konstanty $+f(y)$ a $+g(x)$

Brano · 20. 01. 2013 20:11

Ano, v podstate tak ako som to pisal predtym. Ked integrujes $u(x,y)$ podla $x$ tak dostanes $U(x,y)+f(y)$ , kde $f$ moze byt lubovolne. Analogicky je to pre integrovanie cez $y$ , ale uz sa mi zda ze sa nejak opakujem.

Vincee · 20. 01. 2013 20:14

↑ Brano:
a pokud jsem v prostoru a integruju i přes z tak?

Brano · 20. 01. 2013 22:00 — Editoval Brano (20. 01. 2013 22:03)

Priklad najst potencial k $yzdx+(xz+z)dy+(xy+y+1)dz$ . T.j. $P=yz$ , $Q=xz+z$ a $R=xy+y+1$ .
Overenie:
$rot(P,Q,R)=(R'_y-Q'_z,P'_z-R'_x,Q'_x-P'_y)=(0,0,0)$ - check :-)

Hladanie potencialu $\phi$ :
1) $\phi'_x=P$ teda $\phi=\int Pdx=xyz+f(y,z)$
2) $\phi'_y=Q$ teda $xz+f'_y=xz+z$ teda $f'_y=z$ teda $f=\int zdy=yz+g(z)$ pozor nie $g(x,z)$ , lebo $f$ bola funkcia zavisiaca iba od $y,z$ . Dosadima a mame $\phi=xyz+yz+g(z)$ .
3) $\phi'_z=R$ teda $xy+y+g'=xy+y+1$ teda $g'=1$ teda $g=z+C$ . Dosadime a mame $\phi=xyz+yz+z+C$ .

pozn.: To $+C$ na konci tam bude vzdy, ale ako sme uz dikutovali, pri urcitom integrali nakoniec vypadne.

PS: naschval som zvolil "tazsi" postup z pedagogickych dovodov. Jednoduchsie by bolo zacat s $\phi'_z=R$ potom $\phi'_y=Q$ a nakoniec pouzit $\phi'_x=P$ - mozes si to tak skusit.