Matematické Fórum

Jewels · 20. 01. 2013 20:03 — Editoval Jewels (20. 01. 2013 21:42)

Zdravím, prosil bych o radu jak postupovat :(

5. Je dána množina {a,b,c} a úplná operace • na M :

• a b c
a a b c
b b c a
c c a b

a) Má tato operace neutrální prvek?
b) Ke kterým prvkům množiny M existuje inverzní prvek?
c) Je tato operace komutativní?
d) Je tato operace asociativní?

Andrejka3 · 20. 01. 2013 20:11

↑ Jewels:
Zdravím.
Nějakou vlastní snahu o výpočet?

Jewels · 20. 01. 2013 20:16

Rád bych... jenže chyběl sem na přednášce a nikdo ze spolužáků to neumí nebo možná nechce vysvětlit.... Mělo by se jednat o nějakou Kellyho nebo Keyliho tabulku....ať pátrám jak pátrám nemůžu na internetu nic o tom najít....

vím jen vzorce pro jednotlivé otázky ale netuším jak pracovat s tou tabulkou :(

Andrejka3

Cayley.
Tabulka definuje binární operaci $\bullet$ na množině $\{a,b,c\}$ .
Operace $\bullet$ přiřazuje každé uspořádané dvojici prvků z množiny $\{a,b,c\}$ , například vezmu $(b,a)$ , prvek z $\{a,b,c\}$ , v mém příkladě $b \bullet a$ .
Najdi políčko v tabulce, které odpovídá dvojici $b,a$ . Který prvek v tom políčku je?
Pokud to stále nechápeš, nakreslím tabulku, ale bude to chvíli trvat.

Edit: Takže prvek vlevo od symbolu operace ti říká na jaký řádek tabulky se podívat a prvek vpravo od symbolu operace ti říká o jaký sloupec tabulky jde. Takže máš obě souřadnice a můžeš určit výsledek. Tak kolik je $\color{red}b\color{black} \bullet \color{blue}a\color{black} =\dots$ ??

Jewels · 20. 01. 2013 20:33

je mi to trapné ale stále to asi nechápu :( kdybys byla tak hodná a nakreslila to

Andrejka3 · 20. 01. 2013 20:38

↑ Jewels:
Už je to lepší s obrázkem a barvami? Je to jako tabulka zápasů týmů a,b,c, akorát tady může hrát tým sám se sebou, a výsledkem je opět tým :)

Jewels · 20. 01. 2013 20:43

takze $b\cdot a = b$ ? tak jestli to zatím chápu tak by to mělo být komutativní...

Andrejka3 · 20. 01. 2013 20:44

↑ Jewels:
Jo, $b\bullet a = b$ .
Jo, je to komutativní. Proč je?

Jewels · 20. 01. 2013 20:50

$a \cdot b = b$ $b \cdot a = b$ a takhle to pravi pro vsechny... takze proto by to melo byt komutativni....

a je to i asociativni.... $b \cdot a = b$ a $b \cdot c = a$ akorat nevim jak to zjistit pro $a \cdot a$

Andrejka3 · 20. 01. 2013 20:57

↑ Jewels:
Z toho, co píšeš, mi připadá, že nevíš, co to je asociativita, nebo to neumíš použít (strašně moc čárek v této větě).
Nebo nechápu tvou formulaci.

Problém s tím důkazem komutativity je asi jen v tom, že používáš už zabrané symboly, a,b. Chtěl jsi asi napsat, že
$\forall x,y \in \{a,b,c\} \text{ platí, že }x \bullet y = y \bullet x$ , což jde vidět díky symetrii tabulky podle osy procházející levým horním a pravým dolním rohem.

K asociativitě. Je nutné ukázat:
$\forall x,y,z \in \{a,b,c\} \text{ platí, že }(x \bullet y) \bullet z = x \bullet (y \bullet z)$ , přičemž x,y,z nemusí být nutně různé (je třeba to ukázat pro všechny trojice). Takových trojic je celkem $3^3=27$ , což je hrozně moc. Ale můžeme si pomoci.
Buďto znáš grupu $\mathbb{Z}_3$ , nebo si pomůžeme jinak.

Jewels · 20. 01. 2013 21:08 — Editoval Jewels (20. 01. 2013 21:10)

vím že komutativnost se dokazuje (má vzorec) $\forall x,y \in \{a,b,c\} \text{ platí, že }x \bullet y = y \bullet x$

já rovnou dosadil... $b \cdot a = b$ $a \cdot b = b$ tedy jestli to chapu dobre kdyz za x dosadím "a" a za y dosadím "b"..... takze kdyz x * y = y * x potom to plati i s a,b,c.... myslim že komutativnost chápu

a u asociativity sem taky rovnou dosadil, ale asi sem to nepochopil.... mohla by si uvest konktretni priklad?

Andrejka3 · 20. 01. 2013 21:16

↑ Jewels:
Všimni si kvantifikátoru $\forall$ , což znamená "pro každé". Nestačí si pouze vybrat jednu dvojici, když jich je více.
Analogicky, u asociativity musíme ověřit všech 27 rovnic. Jedna z nich je
$a\bullet (b \bullet a)= (a \bullet b) \bullet a$ .
Ta platí. $a \bullet (b \bullet a)= (b \bullet a) \bullet a = (a \bullet b) \bullet a$ , kde jsem použila v první rovnosti komutativitu a v druhé rovnosti opět komutativitu.
Pak máme trojice
a a a
a a b
a a c
a b a
... celkem 27.

Jewels · 20. 01. 2013 21:17

k ty komutativnosti jeste:

spis sem to mel napsat asi takhle $b \bullet a = a \bullet b$ a protoze $b \bullet a = b$ a zaroven $a \bullet b = b$ tak je to komutavni.... kdyby bylo treba $a \bullet b = c$ tak to neni komutativni

Andrejka3 · 20. 01. 2013 21:17

↑ Andrejka3:
Anebo rovnou vidím z tabulky, že
$a\bullet (b \bullet a)= a \bullet b=b$ a
$(a \bullet b) \bullet a = b \bullet a = b$ . Takže vyšlo totéž.

Andrejka3

↑ Jewels:
Nestačí si vzít jen dvojici a,b. Jsou ještě dvojice a,c ; b,c , které se musí zvlášť ověřit. Ostatní jsou triviální (proč?)
Dva prvky spolu komutují (v nějaké operaci), když nezáleží na pořadí těch dvou prvků.
Operace je komutativní, když všechny dvojice prvků vůči ní komutují.
Jak jsem již ale psala, komutativita (operace) je ekvivalentní symetrii Cayley tabulky podle uhlopříčky.

Jewels · 20. 01. 2013 21:25 — Editoval Jewels (20. 01. 2013 21:25)

ano to vím že se to musí udělat u všech....

a vyslo mi třeba že c * (c * c) = (c * c) * c není asociativni je to dobře?

Andrejka3 · 20. 01. 2013 21:28

↑ Jewels:
Podmínka asociativity, kde všechny z té trojice prvků jsou si rovny platí triviálně.
Ano, je c * (c * c) = (c * c) * c pravda.
Z čeho usuzuješ, že operace není asociativní?

PS druhé téma s determinantem by mělo být samostatné - vytvoř si na ten příklad nové téma a určitě ti někdo odpoví.

Jewels · 20. 01. 2013 21:41

$c \bullet (c \bullet c ) = c \bullet b = a$
$(c \bullet c ) \bullet c = b \bullet c = a$

tak je to asociativni... sem se prekouk :-D
takze timhle zpusobem bych to udelal u vsech (27)

takze Komutativnost a Asociativitu dejme tomu chapu

a neutralni prvek je $(\forall x \in \{a,b,c\} x \bullet n = x \wedge n \bullet x =x$

takze neutralnim prvkem je a ????

Andrejka3 · 20. 01. 2013 21:48

Jewels napsal(a):
tak je to asociativni... sem se prekouk :-D
takze timhle zpusobem bych to udelal u vsech (27)
a neutralni prvek je $(\forall x \in \{a,b,c\} x \bullet n = x \wedge n \bullet x =x$

takze neutralnim prvkem je a ????

↑ Jewels:
To je asociativi - o operaci muzes prohlasit, kdyz prosetris tech 27 pripadu a vsechny vyjdou.
Jo, neutrální prvek je $a$ . To ti pomůže s asociativitou. Všechny trojice, které obsahují prvek $a$ pak splňují podmínku asociativity (můžeš si odůvodnit).
Z původních 27 rovnic k ověření tak zůstane pouze $2^3=8$ a to se dá dále zredukovat (už jsem jeden způsob naznačila).

Jewels · 20. 01. 2013 21:55 — Editoval Jewels (20. 01. 2013 21:59)

jeste ty inverzni prvky :-(

vím že $(\forall x \in \{a,b,c\} )$ x * x´ = n $\wedge$ x´ * x = n$

ale nevím jak dál

a nebo k a je inverzni prvek "a" k b je "b" a c je "c" ?

Andrejka3

$(\forall x \in \{a,b,c\} )(\exists x' \in \{a,b,c\}):\; x \bullet x' = n \wedge x' \bullet x = n$
Používej apostrof místo čárky. Když k $x$ najdeš $y$ tak, že $x\bullet y = a$ , je nutné ověřovat, zda $y \bullet x = a$ ? V našem případě? Proč ne?

Edit: místo n piš všude a. Zjistili jsme, že to je neutrální prvek v zadané struktuře.

Jewels · 20. 01. 2013 22:08

takže
$a' = a$
$b' = c$
$c' = b$

nemusíme ověřovat protože už víme že to je komutativní...

Andrejka3 · 20. 01. 2013 22:09

↑ Jewels:
Správně.

Jewels · 20. 01. 2013 22:11

ohh heureka.... mockrat dekuju za tvuj cas... a jeste admini to sami uzamknou nebo musim nejak dat vedet? :-D

Andrejka3 · 20. 01. 2013 22:14

↑ Jewels:
Rádo se stalo.
Asociativitu jsme zdárně neukončili.
U svého prvního příspěvku máš vedle editovat též označit jako vyřešené.

Matematické Fórum

#1 20. 01. 2013 20:03 — Editoval Jewels (20. 01. 2013 21:42)

Množina s operací a determint

#2 20. 01. 2013 20:11

Re: Množina s operací a determint

#3 20. 01. 2013 20:16

Re: Množina s operací a determint

#4 20. 01. 2013 20:24 — Editoval Andrejka3 (20. 01. 2013 20:40)

Re: Množina s operací a determint

#5 20. 01. 2013 20:33

Re: Množina s operací a determint

#6 20. 01. 2013 20:38

Re: Množina s operací a determint

#7 20. 01. 2013 20:43

Re: Množina s operací a determint

#8 20. 01. 2013 20:44

Re: Množina s operací a determint

#9 20. 01. 2013 20:50

Re: Množina s operací a determint

#10 20. 01. 2013 20:57

Re: Množina s operací a determint

#11 20. 01. 2013 21:08 — Editoval Jewels (20. 01. 2013 21:10)

Re: Množina s operací a determint

#12 20. 01. 2013 21:16

Re: Množina s operací a determint

#13 20. 01. 2013 21:17

Re: Množina s operací a determint

#14 20. 01. 2013 21:17

Re: Množina s operací a determint

#15 20. 01. 2013 21:21 — Editoval Andrejka3 (20. 01. 2013 21:22)

Re: Množina s operací a determint

#16 20. 01. 2013 21:25 — Editoval Jewels (20. 01. 2013 21:25)

Re: Množina s operací a determint

#17 20. 01. 2013 21:28

Re: Množina s operací a determint

#18 20. 01. 2013 21:41

Re: Množina s operací a determint

#19 20. 01. 2013 21:48

Re: Množina s operací a determint

Jewels napsal(a):

#20 20. 01. 2013 21:55 — Editoval Jewels (20. 01. 2013 21:59)

Re: Množina s operací a determint

#21 20. 01. 2013 22:00 — Editoval Andrejka3 (20. 01. 2013 22:02)

Re: Množina s operací a determint

#22 20. 01. 2013 22:08

Re: Množina s operací a determint

#23 20. 01. 2013 22:09

Re: Množina s operací a determint

#24 20. 01. 2013 22:11

Re: Množina s operací a determint

#25 20. 01. 2013 22:14

Re: Množina s operací a determint

Zápatí