Matematické Fórum

jardofpr · 21. 01. 2013 10:50

ahojte

príklad znie

Nech $k$ je ľubovoľné prirodzené číslo a $1 \leq p < \infty$ . Na priestore $(\mathbb{N}, \mathbb{P}(\mathbb{N}))$ definujeme mieru predpisom

$\mu(\emptyset)=0$
$\mu (\{n\})=\frac{1}{n^k}$

Nájdite všetky také $t \in [0,\infty)$ tak, aby funkcia

$f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{R}$
$f(n)=n^t$

bola prvkom priesoru $L^p(\mathbb{N}\,,\,\mu)$ .

Počítal som

$\int_{\mathbb{N}}|f(n)|^p\mathrm{d}\mu=\int_{\mathbb{N}}n^{pt}\mathrm{d}\mu=\sum_{n=1}^{\infty}n^{pt-k}$ a z toho mi vyšlo

$k=1 \Rightarrow t \in \bigg(0,\frac{k-1}{p}\bigg)$
$k>1 \Rightarrow t \in \bigg[0,\frac{k-1}{p} \bigg)$

Je to ozaj takto jednoduché alebo mi niečo niekde uniklo?
V teórii miery necítim veľkú istotu.