Matematické Fórum

newin · 21. 01. 2013 22:18

Prosil bych, zda by mi někdo nemohl ukázat řešení této limity. Pořád mi nejde spočítat. Děkuji

$n((1+\frac{1}{n})^{n}-e)$

user · 21. 01. 2013 23:12

Ahoj,
našel jsem řešení pomocí Taylorova rozvoje, ale určitě bude i elementárnější metoda. Pro zkrácení nepíšu zbytky, ale správně by tam být měly. Před těmi zbytky vyjdou další výrazy (řešitelné opět Taylorem).

$n((1+\frac{1}{n})^{n}-e)=ne\left(e^{n\ln \left(1+\frac1n \right)-1}-1 \right)=ne\left(1+n\ln \left(1+\frac1n \right)-1 -1\right)=\\ =ne\left(n\left(\frac1n-\frac{1}{2n^2}\right)-1\right)=ne\left(1-\frac{1}{2n}-1\right)=-\frac{e}{2}$

newin · 22. 01. 2013 12:31

Bohužel jsme Taylorův rozvoj ještě nebrali. Tudíž tomu zaprvé nerozumím, a zadruhé by mi to stejně v písemce nejspíš neuznali. Nezkusl bys najít ještě tu elementárnější metodu?

user · 22. 01. 2013 16:38

Nic lepšího mě nenapadá. Je to v podstatě užití limit $\frac{e^x-1}{x};\;\frac{\ln(1+x)}{x}$ . Ale ten 2. rozvoj jsem potřeboval až do 2. řádu, což znamená v podstatě druhou derivaci. Takže to bude potřeba ještě nějak upravit... Nejdřív se k tomu dostanu o víkendu, tak třeba poradí do té doby jiný kolega.

Matematické Fórum

#1 21. 01. 2013 22:18

Limita posloupnosti

#2 21. 01. 2013 23:12

Re: Limita posloupnosti

#3 22. 01. 2013 12:31

Re: Limita posloupnosti

#4 22. 01. 2013 16:38

Re: Limita posloupnosti

Zápatí