Matematické Fórum

Dinula · 21. 01. 2013 15:52

Zdravím, mohla bych vás poprosit o pomoc?
Nevím si rady s těmito třemi rovnicemi.
Určete k dané funkci inverzní a určete jejich definiční obory a obory hodnot.
1.
$f: y=ln\sqrt{\mathrm{e}^{x}+1}$

2.
$f: y=2+log \sqrt{2x+1}$

3.
$f: y=3+ln(\sqrt{x}-2)$

Aquabellla · 21. 01. 2013 16:24

↑ Dinula:

1) 1 téma = 1 příklad
2) V čem konkrétně máš problém? Zkus u prvního příkladu načrtnout, jaký si myslíš, že je definiční obor apod.

Dinula · 22. 01. 2013 15:01

konkrétně u prvního příkladu vůbec nevím jak definiční obor zjistit, ani jak udělat inverzní funkci

Aquabellla · 22. 01. 2013 15:30

↑ Dinula:

Podmínka pro odmocninu: $(\mathrm{e}^{x} + 1) \ge 0$ - platí vždy
Podmínka pro logaritmus: $\sqrt{\mathrm{e}^{x} + 1} > 0$ => $\mathrm{e}^{x} + 1 > 0$ => $\mathrm{e}^{x} > -1$ - platí vždy
To znamená, že definičním oborem jsou všechna reálná čísla.

Inverzní funkci dostaneš tak, že vyjádříš funkci jako $x = ...$
$y = \ln \sqrt{\mathrm{e}^{x} + 1}$ - odlogaritmovat
$e^{y} = \sqrt{\mathrm{e}^{x} + 1}$ - umocnit na druhou
$e^{2y} = \mathrm{e}^{x} + 1$ - odečíst jedna
$e^{2y} - 1 = \mathrm{e}^{x}$ - zlogaritmovat
$\ln (e^{2y} - 1) = x$

Zkus určit definiční obor této inverzní funkce.

Dinula · 22. 01. 2013 15:42

$D(f)=\langle0;\infty)$

Aquabellla · 22. 01. 2013 15:52

↑ Dinula:

Ano, jen ta nula tam nepatří. A taky doporučuji odlišovat zadanou funkci od inverzní funkce, aby ses v tom neztratila, takto: $D(f^{-1}) = (0, \infty)$

Teď ještě stačí vědět, že $D(f) = H(f^{-1})$ a $D(f^{-1}) = H(f)$ .

První příklad máš hotový, tak se zkus vrhnout na ten druhý a napiš, cos vypočetla, já ti to zkontroluji :-)

Dinula · 22. 01. 2013 15:58

Ano, nula tam nepatří už jsem si toho všimla.. zkusím tedy vypočítat ty zbývající :)

Dinula · 22. 01. 2013 16:22

Je možné že u té druhé rovnice by byl definiční obor ( $(-\frac{1}{2};\infty )$ ?

Tu inverzní funkci nemůžu vypočítat

Aquabellla · 22. 01. 2013 16:56

↑ Dinula:

Ano, je to správně.

$y = 2 + \log \sqrt{2x + 1}$ - odečíst dvojku
$y - 2 = \log \sqrt{2x + 1}$ - odlogaritmovat
$10^{y - 2} = \sqrt{2x + 1}$ - umocnit na druhou
$10^{2(y - 2)} = 2x + 1$ - odečíst jedničku
$10^{2(y - 2)} - 1 = 2x$ - podělit dvěma
$\frac{1}{2}(10^{2(y - 2)} - 1) = x$

Ten třetí už zkus sama, postup je stejný jako ty první dva příklady :-)