Matematické Fórum

Blackflower · 22. 01. 2013 13:05

Zdravím,
mám jednu otázku ohľadom extrémov. Keď ich overujem pomocou matice druhých parciálnych derivácií, viem, že keď je táto matica kladne definitná, tak je príslušný bod lokálne minimum. Dostala som sa ale do bodu, keď mi vyšiel 1x1 subdeterminant rovný 1, 2x2 subdeterminant rovný 0, 3x3 subdeterminant rovný 6. Teraz neviem, či bod, pre ktorý som rátala subdeterminanty, bude extrém alebo nie. Vedel by mi niekto poradiť?
Vopred ďakujem.

Brano · 22. 01. 2013 14:22 — Editoval Brano (22. 01. 2013 14:25)

Nemusi byt; pr.:
$x^2-y^4$
ale moze byt; pr.:
$x^2+y^4$
moze sa jednat aj o neostry extrem; pr.:
$(x+y)^2$

Napis svoje zadanie a mozme sa na to spolu pozriet.

Blackflower · 22. 01. 2013 14:39

↑ Brano: Čiže keď mám extrémy s väzbou, treba vždy použiť obkolesený hessián?

Brano · 22. 01. 2013 14:47 — Editoval Brano (22. 01. 2013 14:48)

Och ano to urcite. Ak ho nepouzijes tak mozes dostat priamo nespravny vysledok. Napr.:
$x^2-y^2$ s vazbou $y=0$ ma urcite minimum v $x=0$ , zatial co "plna"(? - neviem spravny nazov) Hessova matica je
$\left(\begin{matrix} 1&0\\0&-1\end{matrix}\right)$

PS: neviem co znamena obkoleseny Hessian, len sa domyslam :-), ja to robim cez kvadraticku formu druheho diferencialu.

Blackflower · 22. 01. 2013 15:16

↑ Brano: "Obkolesený" Hessián je Hessova matica s tým, že sa tam doplnia ešte parciálne derivácie väzby.
Mám príklad:
$u(x,y,z)=xyz$
$g:x^2+y^2+z^2=3$
Postup:
$L(x,y,z)=xyz-\lambda (x^2+y^2+z^2-3)$
parciálne zderivované, položiť rovné nule, z toho mi vyšlo toto:
$\lambda _1=\frac{1}{2}, \lambda _2=\frac{-1}{2}$
Vyšiel mi z toho iba jeden kandidát na extrém, a to $A=[1,1,1]$ .
Spravila som si Hessove matice:

$H_1=\begin{matrix} -1&1&1\\ 1&-1&1\\ 1&1&-1 \end{matrix}$

$H_2=\begin{matrix} 1&1&1\\ 1&1&1\\ 1&1&1 \end{matrix}$

V tej prvej vychádzajú subdeterminanty 1, 0 a 6, ak sa nemýlim. Druhá je singulárna, čiže určite bude treba použiť obkolesenú maticu, ktorá mi vychádza takto:
$H'=\begin{matrix} 0&2x&2y&2z\\2x&1&1&1\\ 2y&1&1&1\\ 2z&1&1&1 \end{matrix}$
Dosadím tam teda môj vypočítaný bod a zistím determinant.

Brano · 22. 01. 2013 15:33 — Editoval Brano (22. 01. 2013 15:53)

Tych kandidatov na extrem sa mi zda, ze je viac. Konkretne 14.
$[0,0,\pm \sqrt{3}]$ pre $\lambda=0$ + cyklicke zameny a
$[\pm 1,\pm 1,\pm 1]$ pre $\lambda=\pm 1/2$ (vhodne z tej dvojice).

A to s tym obkolesenym Hessianom som nepochopil, podla mna by o tom ci sa jedna o extrem mala rozhodnut objekt v tvare matice 2x2 a nie 4x4 kedze uloha ma 2 stupne volnosti.

Ak chces mozem ti napisat svoj postup, ale ten by bol cez tie formy.

Blackflower

↑ Brano: Až 11? Do hája... mne vyšlo iba $\lambda =\pm \frac{1}{2}$ ...

Brano · 22. 01. 2013 15:54 — Editoval Brano (22. 01. 2013 15:56)

Este som pridal tri body za znamienka v prvom pripade - uprimnu sustrast - ale ako tak pozeram, tak v nich extremy nie su a ani neviem co tam je, lebo aj redukovana forma 2. diferencialu je semi-definitna - ale vyzera ze aj dalsie diferencialy su nulove, tak by to moholi byt extremy aj ked W|A tvrdi, ze nie

Blackflower · 22. 01. 2013 15:56

↑ Brano: no čo už :D ďakujem veľmi pekne za pomoc, odpoveď na moju prvotnú otázku som dostala a teraz mi ostáva už len veriť, že na skúške takýto príklad nebude :D

Brano · 22. 01. 2013 16:10

Ach nie pardon body typu $[0,0,\sqrt{3}]$ su sedlove - redukovany 2.diferencial je indefinitny konkretne pre tento bod mi vysiel $\sqrt{3}dxdy$ - ak som tam teda zase nieco nezmrvil.

Blackflower · 22. 01. 2013 16:11

↑ Brano: Čiže koľko ich nakoniec bude? :)

Brano · 22. 01. 2013 16:18

Kandidatov na extrem je podla mna 14. W|A tvrdi, ze 4 su maxima, 4 minima a ZIADNE sedlove body - mne sa zda, ze tie s $\lambda=0$ su sedlove body.
Ak chces cely postup, tak vecer ti ho mozem napisat.

Blackflower · 22. 01. 2013 16:20

↑ Brano: ešte uvidím, ako na tom budem :) ďakujem za ochotu a trpezlivosť :)

Matematické Fórum

#1 22. 01. 2013 13:05

Semidefinitnosť vs. extrémy

#2 22. 01. 2013 14:22 — Editoval Brano (22. 01. 2013 14:25)

Re: Semidefinitnosť vs. extrémy

#3 22. 01. 2013 14:39

Re: Semidefinitnosť vs. extrémy

#4 22. 01. 2013 14:47 — Editoval Brano (22. 01. 2013 14:48)

Re: Semidefinitnosť vs. extrémy

#5 22. 01. 2013 15:16

Re: Semidefinitnosť vs. extrémy

#6 22. 01. 2013 15:33 — Editoval Brano (22. 01. 2013 15:53)

Re: Semidefinitnosť vs. extrémy

#7 22. 01. 2013 15:37 — Editoval Blackflower (22. 01. 2013 15:37)

Re: Semidefinitnosť vs. extrémy

#8 22. 01. 2013 15:54 — Editoval Brano (22. 01. 2013 15:56)

Re: Semidefinitnosť vs. extrémy

#9 22. 01. 2013 15:56

Re: Semidefinitnosť vs. extrémy

#10 22. 01. 2013 16:10

Re: Semidefinitnosť vs. extrémy

#11 22. 01. 2013 16:11

Re: Semidefinitnosť vs. extrémy

#12 22. 01. 2013 16:18

Re: Semidefinitnosť vs. extrémy

#13 22. 01. 2013 16:20

Re: Semidefinitnosť vs. extrémy

Zápatí