Matematické Fórum

emitor · 23. 01. 2013 16:42

Zdravím...kamarát má problém s týmto príkladom, ja však ovládam iba stredoškolskú fyziku a tu treba zrejme vysokoškolskú. Podľa toho, že to chcú vedieť presne v danom bode, zrejme treba derivovať. Vedeli by ste poradiť, ako na to? Aký vzorec, z čoho vychádzať ?

Bod o hmotnosti 5 kg kmitá harmonickým netlumeným pohybem o frekvenci 0,5 Hz s amplitudou kmitů 3 cm. Určete rychlost, zrychlení a sílu působící na oscilátor v okamžiku kdy má výchylku 1,5 cm!
vysledky: 0,082 m.s-1, 0,148 m.s -2, 0,74 N

Ďakujem aj za kamaráta.

zdenek1 · 23. 01. 2013 18:42

↑ emitor:
Na střední škole se vychází ze vztahů:
výchylka $y=A\sin (\omega t+\varphi _0)$ (A - amplituda, $\omega=2\pi f$ - úhlová frakvence, $\varphi _0$ - počáteční fáze)
rychlost $v=A\omega \cos (\omega t+\varphi _0)$
zrychlení $a=-A\omega^2 \sin (\omega t+\varphi _0)$

Ty vztahy se samozřejmě dají odvodit pomocí derivací, ale na SŠ se to zpravidla nedělá a studentům se naservírují jako fakt.

Porovnáním výchylky a zrychlení snadno zjistíš $a=-\omega^2y$ a zde už znáš potřebné údaje. (Pokud tě zajímá velikost zrychlení, bereš absolutní hodnotu - tady bez "mínus")
Síla pak podle $F=ma$

Rychlost je trošičku složitější. Dají se provést následující úpravy:
$\left(\frac{y}{A}\right)^2=\sin ^2(\omega t+\varphi _0)$
$\left(\frac{v}{A\omega }\right)^2=\cos ^2(\omega t+\varphi _0)$
a protože
$\sin ^2(\omega t+\varphi _0)+\cos ^2(\omega t+\varphi _0)=1$
dostaneš
$\left(\frac{y}{A}\right)^2+\left(\frac{v}{A\omega }\right)^2=1$
a z toho
$v=\omega \sqrt{A^2-y^2}$

Matematické Fórum

#1 23. 01. 2013 16:42

Príklad - Kmitanie hmotného bodu

#2 23. 01. 2013 18:42

Re: Príklad - Kmitanie hmotného bodu

Zápatí