Matematické Fórum

Nonexist · 23. 01. 2013 19:08

Ahoj,

potřeboval bych poradit prosím s jednou úlohou:

_Zadání:
Dokažte, že pro $1 \le p <q < \infty$ a pro omezenou oblast $\Omega$ platí $L^{q}(\Omega ) \subset L^{p}(\Omega )$ .
_Konec zadání

Jedinou myšlenku mám, že by se měla využít Hölderova nerovnost:
$\int u \cdot v \le (\int u^{r})^{\frac{1}{r}} \cdot (\int v^{r'})^{\frac{1}{r'}}$

kde za první funkci $u = 1$ tedy:

$\parallel f\parallel^{p} \le C \cdot \parallel f\parallel ^{q}$

kde $C$ bude nějaká konstanta.

Budu vděčný za jakoukoliv radu.

lecopivo · 24. 01. 2013 03:33

no mne asi staci ze mira $\Omega$ je konecna. Tedy $\int_\Omega 1 < \infty$ .

Chces dokazat, zepokud $f\in L^q \Rightarrow f\in L^p$ .

Mejme $f\in L^q$ . Definujeme fci $g(x)=max(1,f(x))$ , pak $\int_\Omega f^q \le \int_\Omega g^q < \infty$ (to je treba si trochu promyslet). Vime ze $f^p\le g^p \le g^q$ , tedy $\int_\Omega f^p \le \int_\Omega g^p \le \int_\Omega g^q < \infty$

Jinak pres tu Holderovu nerovnost to taky jde. jen vol $u=1, v=f^p, r'=\frac{q}{p}>1$

Matematické Fórum

#1 23. 01. 2013 19:08

Hölderova nerovnost

#2 24. 01. 2013 03:33

Re: Hölderova nerovnost

Zápatí