Matematické Fórum

stenly · 24. 01. 2013 12:10

Může mi prosím někdo pompci s nástinem řešení tohotom příklasdu.Kyvadlo je tvořeno homogenním diskem o poloměru 10,0 cm a hmotnosti 500 g, spojeným s
homogenní tyčí délky 500 mm a hmotnosti 270 g . (a) Vypoètìte moment setrvaènosti kyvadla
vzhledem k vodorovné ose procházející bodem závěsu. (b) Jaká je vzdálenost mezi bodem závěsu a těžištěm
kyvadla? (c) Vypočtìte periodu kmitù. děkuji

zdenek1 · 24. 01. 2013 12:43

↑ stenly:
dvě otázky
a) kde je bod závěsu
b) jak jsou tyč a kotouč spojeny? Tyč je připevněná na obvod kotouče, nebo na jeho střed, či ještě nějak jinak?

stenly · 24. 01. 2013 15:08 — Editoval stenly (24. 01. 2013 15:10)

Děkuji za otázky a zde je situace na obrázku.↑ zdenek1:

zdenek1 · 24. 01. 2013 16:20

↑ stenly:
b) pro polohu těžiště je vztah
$x_t=\frac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}$
dosazením
$x_t=\frac{m_t\frac l2+m_d(r+l)}{m_t+m_d}$

a) Moment setrvačnosti se dá jednoduše sčítat (stejne jako např. hmotnost), takže ho spočítáme po částech
tyč vzhledem je koncovému bodu: $J_1=\frac13m_tl^2$ (tabulkový vztah)
kotouč: Vzhledem k jeho středu $J_t=\frac12mr^2$ , podle Steinerovy věty provedeme "opravu" na novou osu
$J_o=J_t+md^2$ , kde $d$ je vzdálenost "osa otáčení - těžiště disku". Dostaneme
$J_2=\frac12m_dr^2+m_d(l+r)^2$
Celkový moment setrvačnosti vzhledem k závěsu
$J=J_1+J_2=\frac13m_tl^2+\frac12m_dr^2+m_d(l+r)^2$

c) Perioda
$T=2\pi\sqrt{\frac{mgd}{J_o}}$
kde $d$ je vzdálenost "závěs-těžiště", tj. vlastně $d=x_t$
$m$ je celková hmotnost
$J_o$ moment setrvačnosti vzhledem k ose otáčení, tj. naše $J$