Matematické Fórum

Kriss33 · 25. 01. 2013 15:02

Mám ještě jednu zajímavou limitu sew kterou si nevím rady:
$\lim_{x\to\infty }\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x-\sqrt{x+\sqrt{x}}}$

Díky za pomoc

Brano · 25. 01. 2013 15:26 — Editoval Brano (25. 01. 2013 15:29)

Oznacme si $y=\sqrt{x+\sqrt{x}}$ - to nie je substitucia iba oznacenie.
Mame
$\sqrt{x+y}-\sqrt{x-y}=\frac{2y}{\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}}=\frac{2}{\frac{\sqrt{x+y}}{y}+\frac{\sqrt{x-y}}{y}}=(*)$
Pozrime na
$\frac{\sqrt{x\pm y}}{y}=\sqrt{\frac{x\pm\sqrt{x+\sqrt{x}}}{x+\sqrt{x}}}=\sqrt{\frac{1\pm\sqrt{x^{-1}+x^{-1.5}}}{1+x^{-0.5}}}\to 1\text{; pre }x\to\infty$
a teda
$(*)\to\frac{2}{1+1}=1\text{; pre }x\to\infty$

Kriss33 · 25. 01. 2013 15:35

Prosím, nerozumím poslednímu kroku - jak tam vznikly ty jedničky a ixy na záporné exponenty?

Brano · 25. 01. 2013 15:39 — Editoval Brano (25. 01. 2013 15:41)

Odmysli si tu velku odmocninu a mas tam zlomok - v nom vydelis aj citatela aj menovatela $x$ . Este sa pouzije $\sqrt{x}=x^{0.5}$ a $x^{-1}=\sqrt{x^{-2}}$ . Moze byt?

Kriss33 · 25. 01. 2013 15:45

Aha, jasně, už to vidím, jaksi mi to dnes nemyslí, omlouvám se. Děkuji.

Matematické Fórum

#1 25. 01. 2013 15:02

Zajimava limita

#2 25. 01. 2013 15:26 — Editoval Brano (25. 01. 2013 15:29)

Re: Zajimava limita

#3 25. 01. 2013 15:35

Re: Zajimava limita

#4 25. 01. 2013 15:39 — Editoval Brano (25. 01. 2013 15:41)

Re: Zajimava limita

#5 25. 01. 2013 15:45

Re: Zajimava limita

Zápatí