Matematické Fórum

Petr1992 · 28. 01. 2013 00:05

Dobrý den, mám problém s tímto příkladem, nevím už od začátku co s ním:

Spočtěte limitu:

$A=\lim_{x\to0}(\frac{1}{sinx}-\frac{1}{e^{x}-1})$

Děkuji

Wellcosh

Hodí se pamatovat si, že
$\lim_{x \rightarrow 0 } {\sin x \over x} = 1$ , $\lim_{x \rightarrow 0 } {e^x -1 \over x} = 1$

EDIT: Koukám, že to samotné moc nepomůže. Takže jinak:
Zlomky převedeme na společného jmenovatele. Teď si můžeš vybrat:
a) $\sin x$ i $e^x$ rozvineme do Taylora druhého řádu
b) dvakrát zl'Hospitalíme.

Bati · 28. 01. 2013 08:34 — Editoval Bati (28. 01. 2013 11:51)

↑ Wellcosh:
Proč ten l'Hospital? Tím převedením na společného jmenovatele a použitím limit, které jsi uvedl se to redukuje na spočítání limity $\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-\sin{x}}{x^2}$ , která se přímo vypočte použitím Taylora.

EDIT: Nevšiml jsem si, že to uvádíš jako 2 alternativy, sorry.

Petr1992 · 28. 01. 2013 11:45

No Taylora slyším od vás prvně, tenhle postup jsme ještě vůbec nepoužívali... Mělo by se to řešit jen l'Hospitalovým pravidlem (tenhle příklad jsme měli v testu)

Bati · 28. 01. 2013 11:49

↑ Petr1992:
V tom případě na tu limitu, co jsem psal, použij 2x l'Hospitala a vyjde ti to taky. Taylor je jen rychlejší.

Petr1992

↑ Bati:

tak prozatím mám tento výpočet:

$\lim_{x\to0}(\frac{1}{sinx}-\frac{1}{e^{x}-1})=\lim_{x\to0}(\frac{e^{x}-1-sinx}{e^{x}sinx-sinx})=\frac{0}{0}=\lim_{x\to0}(\frac{e^{x}-cosx}{e^{x}sinx+e^{x}cosx-cosx})$

a ted nad tím ještě pracuju, mám to zatím správně? nevím co ted dál....mám to rovnou ještě zderivovat?

Bati · 28. 01. 2013 12:22

↑ Petr1992:
Ne, použij ty známé limity, jak jsme ti doporučovali:
$\lim_{x\to0}$\frac1{\sin{x}}-\frac1{e^x-1}$=\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-\sin{x}}{\sin{x}(e^x-1)}=\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-\sin{x}}{x^2}\cdot\frac{x}{\sin{x}}\cdot\frac{x}{e^x-1}$ .

Wellcosh

↑ Petr1992: Ještě jednou to zderivuj a vyjde ti to.

↑ Bati: Takto stejně potřebuješ zjistit limitu toho prvního členu, což bez Taylora stejně potřebuje l'Hospitala, ne? Akorát budou ty derivace trochu hezčí.

Petr1992 · 28. 01. 2013 15:45

↑ Wellcosh:

No, zderivoval jsem tedy ještě jednou můj výsledek a vyšlo mi:

$\lim_{x\to0}(\frac{e^{x}+sinx}{e^{x}sinx+e^{x}cosx+e^{x}cosx-e^{x}sinx-cosx})=\lim_{x\to0}(\frac{e^{x}+sinx}{2e^{x}cosx-cosx})$

Dosadím nulu za X a vyjde:

$\frac{1+0}{2\cdot 1-1}=1$

výsledek je tedy 1...správně? jestli ano děkuji moc za pomoc:-) tyhle webové stránky se mi začínají skutečně líbit:-)

Wellcosh · 28. 01. 2013 16:00

↑ Petr1992:
Nezderivovals poslední cosinus ve jmenovateli. Výsledek je $1 \over 2$ .

jarrro · 28. 01. 2013 16:06

v menovateli má byť
$\mathrm{e}^{x}\sin{x}+\mathrm{e}^{x}\cos{x}+\mathrm{e}\cos{x}-\mathrm{e}\sin{x}+\sin{x}=2\mathrm{e}^{x}\cos{x}+\sin{x}$
teda limita je
$\frac{1}{2}$
ale tiež si myslím, že aj v prípade LHospitala budú jednoduchšie počty keď sa to prevedie na $\lim_{x\to0}$\frac1{\sin{x}}-\frac1{e^x-1}$=\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-\sin{x}}{\sin{x}(e^x-1)}=\lim_{x\to0}$\frac{e^x-1-\sin{x}}{x^2}\cdot\frac{x}{\sin{x}}\cdot\frac{x}{e^x-1}$$
a LHospitalom sa počíta len
$\lim_{x\to 0}{\frac{\mathrm{e}^x-1-\sin{x}}{x^2}}$

Petr1992 · 28. 01. 2013 16:41

↑ jarrro:
právěže tady moc nechápu tu úpravu, kde se tam ve jmenovateli vzalo $x^{2}$ a jak tam vznikl ten součin dalších zlomků....

jarrro · 28. 01. 2013 16:45

↑ Petr1992:platí
$\frac{a}{bc}=\frac{ad^2}{d^2bc}=\frac{a}{d^2}\cdot\frac{d}{b}\cdot\frac{d}{c}$

Petr1992 · 28. 01. 2013 16:51

↑ jarrro:
aha, no jo,...pravda :D
děkuju :-)

Matematické Fórum

#1 28. 01. 2013 00:05

limita

#2 28. 01. 2013 00:16 — Editoval Wellcosh (28. 01. 2013 00:45)

Re: limita

#3 28. 01. 2013 08:34 — Editoval Bati (28. 01. 2013 11:51)

Re: limita

#4 28. 01. 2013 11:45

Re: limita

#5 28. 01. 2013 11:49

Re: limita

#6 28. 01. 2013 12:12 — Editoval Petr1992 (28. 01. 2013 12:13)

Re: limita

#7 28. 01. 2013 12:22

Re: limita

#8 28. 01. 2013 13:20 — Editoval Wellcosh (28. 01. 2013 13:26)

Re: limita

#9 28. 01. 2013 15:45

Re: limita

#10 28. 01. 2013 16:00

Re: limita

#11 28. 01. 2013 16:06

Re: limita

#12 28. 01. 2013 16:41

Re: limita

#13 28. 01. 2013 16:45

Re: limita

#14 28. 01. 2013 16:51

Re: limita

Zápatí