Matematické Fórum

domorodec_lk · 28. 01. 2013 09:16

mám spočítat obecný integrál $\int_{}^{}\frac{8xdx}{(1-\text{cotg}(x^{2}))^{4}\sin ^{2}(x^{2})}$ netuším ale co s goniometrickou funkcí. mohl by mi někdo zkusit vysvětlit jak na to?

Bati · 28. 01. 2013 09:18

Nejprve bych odsubstituoval tu druhou mocninu. To půjde velmi snadno, vzhledem k tomu, co máš v čitateli. Pak bych to tipoval na kotangensovou substituci, vzhledem k tomu, že ten sinus tam je ve druhé mocnině.

domorodec_lk · 28. 01. 2013 09:33

↑ Bati: mno a právě na tomto jsem skončil. jak udělat tu kterou substituci. třeba je to jednoduché, ale ani mě nic nenapadá jak dál pokračovat. mohl bych poprosit o ukázku? jak a proč zrovna takto?

Bati · 28. 01. 2013 09:39 — Editoval Bati (28. 01. 2013 09:40)

No, zrovna v tomto příkladě je to velmi jednoduché, protože víme, že $(\text{cotg}\:{x})'=\frac{-1}{\sin^2{x}}$ a to se tam přesně objevuje. Když právě chceš za něco substituovat, tak je potřeba se podívat, jestli se tam někde vyskytuje derivace toho, co chceš substituovat.

Bati · 28. 01. 2013 09:49 — Editoval Bati (28. 01. 2013 09:51)

Udělám ti tedy ukázku:
$\int\frac{8x\:\text{d}x}{(1-\text{cotg}\:x^2)^{4}\sin ^2{x^2}}=\int\frac{4\cdot{\color{red}2x\:\text{d}x}}{(1-\text{cotg}\:{\color{red}x^2})^{4}\sin ^2{{\color{red}x^2}}}=\int\frac{4\:\text{d}y}{(1-\text{cotg}\:y)^4\sin^2{y}}=\nl=\int\frac{-4}{(1-{\color{red}\text{cotg}\:y})^4}\cdot{\color{red}\frac{-1}{\sin^2{y}}\:\text{d}y}=\int\frac{-4}{(1-z)^4}\:\text{d}z$

domorodec_lk

↑ Bati:

derivaci bych pochopil. ale jak to naroubovat do příkladu mi hlava nebere. vidím že tam je ${\sin^2{x}}$ jen neumím použít ten cotangens

Bati · 28. 01. 2013 10:02

↑ domorodec_lk:
To chce cvik.

domorodec_lk · 28. 01. 2013 10:44

↑ Bati:

z ukázky jsem vyrozuměl, že prvním krokem bylo substitování ${2x}$ ve jmenovateli ${x^2}$ v čitateli za y? a následně stejným způsobem kotangens za z? nepředpokládám že to je výsledek, s tím se bude muset ještě něco provést?

že to chce cvik je jasná věc. ten bohužel nemám. limity bych jakžtakž zvládnul, derivace v podstatě taky, ale integrály tohoto typu mě pokaždé zadřou hlavu

Bati · 28. 01. 2013 11:02 — Editoval Bati (28. 01. 2013 11:02)

↑ domorodec_lk:
Ano, v prvním kroku jsem substituoval za $x^2$ . $2x$ jsem tam potřeboval kvůli větě o substituci, jinak by to provést nešlo. Stejně tak s tím kotangensem a jeho derivací. Ano, s tím výsledkem je třeba něco provést, ale to už je rutina - parciální zlomky a známé integrály. Vypadá to, že nemáš zmáklou ani teorii, doporučuju si projít tyhle stránky, je to tam podrobně vše vysvětleno, se spoustou příkladů.

domorodec_lk · 28. 01. 2013 11:16

↑ Bati: teorie mi právě nic neřekla, tak jsem potřeboval ukázku. parciální zlomky bych i dokupy snad dal. ikdyž netvrdím že během pěti minut

domorodec_lk

jestli jsem tedy ukázku pochopil správně, tak ve jmenovateli musí být něco, čemu odpovídá v čitateli něco po derivaci. takže ukázka na jiném příkladě: (kde $x^{4}$ ve jmenovateli odpovídá po derivaci $4x^{3}$ v čitateli a proto můžu substituovat. to samé jsem provedl s ${\text{cotg}y}$ ve jmenovateli, který odpovídá $\frac{-1}{\text{sin}^{2}y}$ , který se nalézá ve zlomku. kdyby bylo v čitateli místo $4x^{3}$ -> $x^{4}$ , fungovalo by to stejně?

$\int\frac{4x^3\:\text{d}x}{(1-\text{cotg}\:x^4)^{4}\sin ^2{x^4}}=\int\frac{{\color{red}4x^3\:\text{d}x}}{(1-\text{cotg}\:{\color{red}x^4})^{4}\sin ^2{{\color{red}x^4}}}=\int\frac{y\:\text{d}y}{(1-\text{cotg}\:y)^4\sin^2{y}}=\nl=\int\frac{-y}{(1-{\color{red}\text{cotg}\:y})^4}\cdot{\color{red}\frac{-1}{\sin^2{y}}\:\text{d}y}=\int\frac{-y}{(1-z)^4}\:\text{d}z$

a pokud by funkce byla ve jmenovateli s $\text{tg}$ namísto $\text{cotg}$ , vypadal by integrál takto?

$\int\frac{4x^3\:\text{d}x}{(1-\text{tg}\:x^4)^{4}\cos ^2{x^4}}=\int\frac{{\color{red}4x^3\:\text{d}x}}{(1-\text{tg}\:{\color{red}x^4})^{4}\cos ^2{{\color{red}x^4}}}=\int\frac{y\:\text{d}y}{(1-\text{tg}\:y)^4\cos^2{y}}=\nl=\int\frac{y}{(1-{\color{red}\text{tg}\:y})^4}\cdot{\color{red}\frac{1}{\cos^2{y}}\:\text{d}y}=\int\frac{y}{(1-z)^4}\:\text{d}z$

jelena · 29. 01. 2013 09:59

↑ domorodec_lk:

Zdravím,

děkuji za krásně přehledný zápis. Skoro dobře - jak jsi sám napsal $x^{4}=y$ v jmenovateli má "pro sebe" $4x^{3}\d x=\d y$ v čitateli, tedy v zápisu po substituci se již nemá objevovat y, ale jen $\int\frac{\text{d}y}{(1-\text{tg}\:y)^4\sin^2{y}}=$

kdyby bylo v čitateli místo $4x^{3}$ -> $x^{4}$ , fungovalo by to stejně?
]

myslím, že ne, musela by se zvolit jiná metoda.

Jinak místo substituce ${\text{cotg}y}=z$ může být i $1-{\text{cotg}y}=z$ . Doufám, že jsem nic nepřehlédla. V pořádku? Děkuji.

domorodec_lk · 29. 01. 2013 13:15

↑ jelena: tak už je mi to zase jasnější. děkuji za radu a opravu. pokud nemá ještě někdo něco k danému tématu, označil bych za vyřešené

jelena · 29. 01. 2013 13:17

↑ domorodec_lk:

také děkuji, počkej si ještě případně na kolegu ↑ Bati:, zda něco nedoplní, potom označ.

Bati · 29. 01. 2013 13:42

↑ domorodec_lk:
Jen doplním, že to, co substituuješ nemusí být jen ve jmenovateli. Možná si to nemyslíš, ale kdyby náhodou, tak uvedu příklad :
$\int\frac{4x^{11}\:\text{d}x}{(1-\text{tg}\:x^4)^{4}\cos ^2{x^4}}=\int\frac{{\color{red}x^4\cdot x^4\cdot4x^3\:\text{d}x}}{(1-\text{tg}\:{\color{red}x^4})^{4}\cos ^2{{\color{red}x^4}}}=\int\frac{y^2\:\text{d}y}{(1-\text{tg}\:y)^4\cos^2{y}}$

domorodec_lk

↑ Bati:. ale podmínka je, že v čitateli zároveň musí být hodnota kterou substituji zderivovaná, že? ale jen jsem si myslel, že když se tam vyskytuje substituovaná veličina stejná jako ve jmenovateli dvakrát a vícekreát, tak je to spíše 2y. nebo počet stejných hodnot substituovaných veličin je mocnitel?

Bati · 29. 01. 2013 13:56 — Editoval Bati (29. 01. 2013 13:57)

↑ domorodec_lk:
Ano, to je jediná podmínka pro tento typ substituce.
Ještě teda to, že po substituci ti tam nikde nesmí zbýt ta původní proměnná, tj. musíš nahradit úplně všechno.

Bati · 29. 01. 2013 13:58

↑ domorodec_lk:
Ne, prostě každé $x^4$ jsem nahradil $y$ . Ty $x^4$ tam byly v součinu, proto tam je $y\cdot y=y^2$ .

domorodec_lk · 29. 01. 2013 14:05

↑ Bati:
pravda. už bych si měl dneska dát pokoj abych nenadělal další ostudu

Bati · 29. 01. 2013 14:08

↑ domorodec_lk:
To je ok, jen si osobně myslím, že by bylo efektivnější projít si ty stránky, na které jsem odkázal a dát si tam nějaký příklad na substituci. U všeho je tam podrobné řešení.

jelena · 29. 01. 2013 20:58

↑ Bati:
také děkuji. Ještě doplním drobný odkaz (k poznámce kolegy ↑ Bati:) a označím téma za vyřešené.

domorodec_lk · 30. 01. 2013 05:41

↑ jelena:
děkuji, stránky jsem si prošel. ale jsem bohužel praktik a tak si postup musím s někým prokonzultovat. potom už zkouším a zkouším. ale jen z ukázky a teorie nejsem schopen dát výsledek

Matematické Fórum

#1 28. 01. 2013 09:16

integrál

#2 28. 01. 2013 09:18

Re: integrál

#3 28. 01. 2013 09:33

Re: integrál

#4 28. 01. 2013 09:39 — Editoval Bati (28. 01. 2013 09:40)

Re: integrál

#5 28. 01. 2013 09:49 — Editoval Bati (28. 01. 2013 09:51)

Re: integrál

#6 28. 01. 2013 09:56 — Editoval domorodec_lk (28. 01. 2013 09:56)

Re: integrál

#7 28. 01. 2013 10:02

Re: integrál

#8 28. 01. 2013 10:44

Re: integrál

#9 28. 01. 2013 11:02 — Editoval Bati (28. 01. 2013 11:02)

Re: integrál

#10 28. 01. 2013 11:16

Re: integrál

#11 29. 01. 2013 06:13 — Editoval domorodec_lk (29. 01. 2013 09:39)

Re: integrál

#12 29. 01. 2013 09:59

Re: integrál

#13 29. 01. 2013 13:15

Re: integrál

#14 29. 01. 2013 13:17

Re: integrál

#15 29. 01. 2013 13:42

Re: integrál

#16 29. 01. 2013 13:54 — Editoval domorodec_lk (29. 01. 2013 13:56)

Re: integrál

#17 29. 01. 2013 13:56 — Editoval Bati (29. 01. 2013 13:57)

Re: integrál

#18 29. 01. 2013 13:58

Re: integrál

#19 29. 01. 2013 14:05

Re: integrál

#20 29. 01. 2013 14:08

Re: integrál

#21 29. 01. 2013 20:58

Re: integrál

#22 30. 01. 2013 05:41

Re: integrál

Zápatí