Matematické Fórum

PanTau · 28. 01. 2013 11:16

Ahoj, chtěl bych se zeptat zkušených.

Dostanuli příklad,

Určete všechna řešení soustavy rovnic...

V ,,manuálu,, jsem se dočetl, že existují dva způsoby řešení - partikularní řešení a obecné.

Vím jak se oboje počítají. Ale má otázka zní, musím počítat oboje? Nebo jen jedno? A jaké? Díky

Andrejka3 · 28. 01. 2013 11:44

Ahoj,
musíš to spočítat tak, abys určil všechna řešení soustavy rovnic.
Z Frobeniovy věty, či z porovnání hodností rozšířené a nerozšířené matice zjistíš, zda (a kolik) řešení existuje.

V manuálu se jistě píše, že všechna řešení lze získat z partikulárního řešení a všech řešení příslušné homogenní soustavy.

PanTau · 28. 01. 2013 11:52 — Editoval PanTau (28. 01. 2013 11:59)

↑ Andrejka3:

Je správně tvrzení že počet řešení = hodnost - počet neznámých?

(pokud tedy řešení existuje).

Neexistuje v případě že hodnostA = Hodnostb

Andrejka3 · 28. 01. 2013 12:00

↑ PanTau:
Nehomogenní soustava lineárních rovnic nemá nikdy právě dvě řešení.

Frobenius: hodnost rozšířené = hodnost nerozšířené , právě když existuje řešení nehomogenní soustavy.
Pokud tedy řešení existuje, počet řešení je dán počtem řešení homogenní soustavy.
Je-li hodnost matice homogenní soustavy m a počet neznámých n, pak dimenze řešení je rovna n-m.

Rumburak · 28. 01. 2013 12:02

Ahoj.

Nepíšeš, o jaké (zřejmě lineární) rovnice Ti jde : algebraické ? diferenciální ? diferenční ? ...

Moje odpověď proto bude obecná tak, aby pokryla všechny možnosti.

Mějme lineární (=vektorové) prostory $X, Y$ , lineární zobrazení $L : X \to Y$ a rovnici

(1) $L(x) = a$ ,

kde $a \in Y$ je nějaký předem zvolený prvek. Množinu všech řešení rovnice (1) označme $U$ .

Zkoumejme nejprve rovnici

(2) $L(x) = 0$ ,

množinu všech jejích řešení označme $V$ .

Z linearity zobrazení $L$ se snadno dají dokázat následující tvrzení:

I. $V$ je podprostorem v $X$ .

II. $u_1, u_2 \in U \Rightarrow u_1 - u_2 \in V$ ,

III. $(u \in U \wedge v \in V) \Rightarrow u + v \in U$ .

Odtud plyne: je-li $p \in U$ libovolné, potom $U = \{ p + v ; v \in V\}$ .

K určení celé mmožiny $U$ tedy stačí znát jeden (kterýkoliv) její prvek $p$ a podprostor $V$ . V této souvislosti
se prvek $p$ nazývá partikulárním řešením rovnice (1), prvek $p + v$ , kde $v$ je obecný prvek prostoru $V$ ,
obeným řešením rovnice (1).

Andrejka3 · 28. 01. 2013 12:16

↑ PanTau:
Kolega ↑ Rumburak: napsal hezky to, co se mi psát nechtělo. Myslím, že pochopení tohoto je zásadní.

PanTau · 29. 01. 2013 17:59

Ahoj, děkuji oboum za příspěvky.

Panu Rumburak za jeho obsáhlejší kus k tématu.

Nyní je mi to jasné, prodiskutoval jsem to s kamarádem a mé znalosti obohatili Vaše příspěvky.

Díky.

Matematické Fórum

#1 28. 01. 2013 11:16

Nehomogení lineární rovnice - technická otázka

#2 28. 01. 2013 11:44

Re: Nehomogení lineární rovnice - technická otázka

#3 28. 01. 2013 11:52 — Editoval PanTau (28. 01. 2013 11:59)

Re: Nehomogení lineární rovnice - technická otázka

#4 28. 01. 2013 12:00

Re: Nehomogení lineární rovnice - technická otázka

#5 28. 01. 2013 12:02

Re: Nehomogení lineární rovnice - technická otázka

#6 28. 01. 2013 12:16

Re: Nehomogení lineární rovnice - technická otázka

#7 29. 01. 2013 17:59

Re: Nehomogení lineární rovnice - technická otázka

Zápatí