Matematické Fórum

Petr1992 · 27. 01. 2013 16:14

Dobrý den, jak zjistím že je tato funkce konstantní?

$f_{(x)}=arcsin\sqrt{1-4x}+\frac{1}{2}arcsin(8x-1)$

PS: ted si nejsem přímo jist, jestli u arcsin(8x-1) nemá být náhodou arcsin(8x-2)... Nevím jestli tam má být jednička nebo dvojka..... Kamarád z toho psal test a chtěl ode mě pomoct a mě tenhle příklad zarazil...
Děkuji za pomoc

Blackflower

↑ Petr1992: Ak je funkcia konštantná, jej derivácia je rovná nule.

Bati · 27. 01. 2013 16:36

Je ale třeba říci, kde je konstantní ( $\mathbb{R}$ to jistě není).

Blackflower · 27. 01. 2013 16:38

↑ Bati: Súhlasím, keďže wolfram mi to zderivoval a nula to nebola...

Bati · 27. 01. 2013 17:37

↑ Blackflower:
Jenom proto, že ti ukázal rozdíl 2 zlomků s jinými jmenovateli? Je to nula.

kompik · 27. 01. 2013 19:16

Ak $8x-1=a$ , tak $\frac{1-a}2=1-4x$ .

Ak si zvolim $\alpha$ take, ze $\cos\alpha=a$ , tak $\sin(\alpha/2)=\sqrt{\frac{1-a}2}$ pre take hodnoty $\alpha$ , kde je $\sin(\alpha/2)>0$ . (To su hodnotu z intervalu $\langle0,\pi\rangle$ , a $\cos\alpha$ tu nadobuda vsetky hodnoty od $-1$ po $1$ .)

Nas vyraz je teda $\arcsin\left(\sin\frac\alpha2\right)+\frac{\arcsin(\cos\alpha)}2=\arcsin\left(\sin\frac\alpha2\right)+\frac{\arcsin(\sin(\frac\pi2-\alpha))}2=\frac\alpha2+\frac\pi4-\frac\alpha2=\pi4$ .

Patrilo by sa ale poriadne pozriet na definicny obor. A to riesenie cez derivaciu je asi priamociarejsie a jednoduchsie. (Toto riesenie bolo truchu neporiadne - napriklad $\arcsin(\sin x)=x$ plati len pre $x$ z intervalu $\langle-\pi/2,\pi/2\rangle$ , a ja som vobec nekontroloval, ci som v tom odvodeni pouzival $\arcsin$ len na veci z tohoto intervalu.)

Petr1992 · 27. 01. 2013 19:45

No, já bych především potřeboval výpočet s tou derivací... A u těch cyklometrických funkcí s tou derivací trošku tápu.

Platí tedy, že funkce je konstantní, když je derivace rovna nule...

můj nedokončený výpočet vypadá takto:

$f_{(x)}=arcsin\sqrt{1-4x}+\frac{1}{2}arcsin(8x-1)$
$f_{(x)}'=(arcsin\sqrt{1})'-(arcsin\sqrt{4x})'+(\frac{1}{2}arcsin8x)'-(\frac{1}{2}arcsin1)'$
výrazy bez x jde považovat za aditivní konstanty, které jsou rovny nule:
$f_{(x)}'=0-(arcsin\sqrt{4x})'+(\frac{1}{2}arcsin8x)'-0$
$f_{(x)}'=(\frac{1}{2}arcsin8x)'-(arcsin\sqrt{4x})'$
jednu polovinu lze chápat jako multiplikativní konstantu:
$f_{(x)}'=\frac{1}{2}(arcsin8x)'-(arcsin\sqrt{4x})'$
a pro derivaci arcsinx aplikujeme vzorec: $(arcsinx)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$ a derivaci dáme rovno nule,
tedy platí:

$0=\frac{1}{2\sqrt{1-(8x)^{2}}}*8-\frac{1}{\sqrt{1-4x}}*\frac{2}{\sqrt{x}}*4$

Počítám zatím správně? Nebyl jsem si jist jestli výraz arcsin\sqrt{1-4x} mohu rozdělit na dva arcussiny, jestli jsem neporušil nějaká pravidla pro počítání...... A co aplikování vzorce arcsinx, udělal jsem tak správně? Mám tedy počítat dál, anebo to mám celé špatně? :-D
děkuji

Bati · 27. 01. 2013 19:50 — Editoval Bati (27. 01. 2013 19:54)

První krok je naprostý nesmysl, arkussinus, ani odmocnina nejsou aditivní funkce!

A mimoto teprve chceš zjistit, že daná derivace je nula pro všechna přípustná x, nemůžeš si ji položit rovnou nule.

Petr1992

Aha,no.... Mám s tím problémy uznávám :D takže jak to mám počítat....
Mám tohle rozdělené správně?
$f_{(x)}'=(arcsin\sqrt{1})'-(arcsin\sqrt{4x})'+(\frac{1}{2}arcsin8x)'-(\frac{1}{2}arcsin1)'$
a ted mám aplikovat u všeho vzorec $(arcsinx)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$ a dopočítat?

kompik · 27. 01. 2013 20:21 — Editoval kompik (27. 01. 2013 20:22)

↑ Petr1992:
Nie, nie je to dobre.
$f_{(x)}=arcsin\sqrt{1-4x}$ treba derivovať ako zloženú funkciu

Podľa WolframAlpha by to malo vyjsť takto.

Dajú sa tam pozrieť aj jednotlivé kroky. (Treba byť zaregistrovaný a dá sa pozrieť iba 3 takéto veci za deň.)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

To isté treba spraviť s tou druhou funkciou (druhým sčítancom).

Petr1992

↑ kompik:
no, tak ta druhá fce mi vyšla takhle:

$[\frac{1}{2}arcsin(8x-1)]' = \frac{1}{2}*\frac{1}{\sqrt{1-(8x-1)^{2}}}*8=$
$=\frac{4}{\sqrt{1-64x^{2}+16x-1}}=\frac{4}{\sqrt{-64x^{2}+16x}}$

a tady jsem se zaseknul.... jak mám jít dál?

EDITACE:
zkusil jsem to vydělit čtyřmi, a vyšel mi výraz:
$\frac{1}{\sqrt{-4x^{2}+x}}$

ale, nevím co ted s tím....

EDITACE:

jo už to asi vidím.... ta funkce vyšla vlastně stejně, jako ta první, když se roznásobí, ale s opačným znaménkem.... takže výsledek je nula, tedy je konstantní...

a kdyby v zadání bylo "Zjisti kde je tato funkce konstantní", tak co s tím udělám? dám tuto derivaci rovno nule a hledám X taková, pro která to platí?

kompik · 28. 01. 2013 08:31

Petr1992 napsal(a):
a kdyby v zadání bylo "Zjisti kde je tato funkce konstantní", tak co s tím udělám? dám tuto derivaci rovno nule a hledám X taková, pro která to platí?

To znie rozumne.
Samozrejme, nemá zmysel povedať, že funkcia je konštantná v jednom bode. Čiže sa potom treba pozrieť, či ti tam vyšli nejaké intervaly (s nenulovou dĺžkou) kde to je nula.

Ako bolo už viackrát v tejto téme spomenuté, ešte by bolo treba určiť definičný obor, čiže úloha ešte stále nie je kompletne vyriešená. (Na príklad ak by sa definičný obor skladal s viacerých intervalov, ktoré sú navzájom oddelené, tak z toho, že derivácia je nulová, ešte nevyplýva, že by sa funkcia musela rovnať tej istej konštante na celom definičnom obore.)

Matematické Fórum

#1 27. 01. 2013 16:14

dokaž, že je tato funkce konstantní

#2 27. 01. 2013 16:18 — Editoval Blackflower (27. 01. 2013 16:25)

Re: dokaž, že je tato funkce konstantní

#3 27. 01. 2013 16:36

Re: dokaž, že je tato funkce konstantní

#4 27. 01. 2013 16:38

Re: dokaž, že je tato funkce konstantní

#5 27. 01. 2013 17:37

Re: dokaž, že je tato funkce konstantní

#6 27. 01. 2013 19:16

Re: dokaž, že je tato funkce konstantní

#7 27. 01. 2013 19:45

Re: dokaž, že je tato funkce konstantní

#8 27. 01. 2013 19:50 — Editoval Bati (27. 01. 2013 19:54)

Re: dokaž, že je tato funkce konstantní

#9 27. 01. 2013 20:02 — Editoval Petr1992 (27. 01. 2013 20:03)

Re: dokaž, že je tato funkce konstantní

#10 27. 01. 2013 20:21 — Editoval kompik (27. 01. 2013 20:22)

Re: dokaž, že je tato funkce konstantní

#11 27. 01. 2013 21:18 — Editoval Petr1992 (27. 01. 2013 21:29)

Re: dokaž, že je tato funkce konstantní

#12 28. 01. 2013 08:31

Re: dokaž, že je tato funkce konstantní

Petr1992 napsal(a):

#13 28. 01. 2013 21:07 Příspěvek uživatele Petr1992 byl skryt uživatelem Petr1992. Důvod: spatnej téma, pardon

Zápatí