Matematické Fórum

m2ria · 29. 01. 2013 23:05 — Editoval m2ria (29. 01. 2013 23:07)

Ahoj, neporadil by mi prosím někdo s tímto příkladem?

$y - 2y = e^{4x}$ (to první y je s jednou čárkou)

Nejdříve jsem udělala obecné řešení. Ale celkem mě zmátlo to, že tam nemám dva kořeny, ale pouze jeden.

Takže lamba se rovná 2.

dala jsem to do tohoto vzorce.

$y = c_{1}e^{2x} + c_{2}e^{2x}$ (Použila jsem tu dvojku 2 krát i když vím, že je to asi špatně.

Pote jsem udelala tu parciální derivaci

y = $e^{4x}$ *x

Vůbec nevím jestli je ten postup asi trochu správnej a ani nevím jak pokračovat dál. Neporadí mi tedy prosím někdo?

Díky moc! :)

Wellcosh

Máš v tom trochu guláš. Když máš rovnici prvního řádu $y' - 2y = 0$ , tak i charakteristický polynom je prvního řádu a má tedy jenom jeden kořen.
Takže homogenní řešení je
$y_h(x) = c_1 e^{2x}$

Když máš rovnici druhého řádu, může se stát, že ti vyjde jeden (dvojnásobný) kořen. Např.
$y'' -2y+1 = 0$
Kořen char. polynomu je tedy $\lambda = 1$ . V tomto případě je fundamentální systém následující:
$\{e^x, xe^x \}$

Samozřejmě při řešení rovnic vyšších řádů může mít char. polynom více kořenů vyšších řádů, obecný FS je potom
$\{e^{\lambda_1x}, xe^{\lambda_1x}, x^2e^{\lambda_1x}, ..., x^{n_1} e^{\lambda_1x}, e^{\lambda_2x}, xe^{\lambda_2x}, ... \}$

Partikulární řešení je nejlepší uhádnout. Očekáváš řešení tvaru
$y_p(x) = c_2 e^{4x}$
Dosadíš do rovnice:
$4 c_2 e^{4x} - 2c_2 e^{4x} = e^{4x}$
$c_2 = {1 \over 2}$

Celkem:
$y(x) = y_h(x) + y_p(x) = c_1 e^{2x} + {1 \over 2} e^{4x}$