Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

Stránky: 1

 

#1 30. 01. 2013 16:10

N3st4
Příspěvky: 240
Reputace:   12 
 

Stvorenie čísel - ako na to?

Ahoj. Chcel sa spýtať či mi môžete odporučiť nejaké texty, knihu k tomu ako vytvoriť prirodzené, celé a racionálne čísla.
Prirodzené sa dajú vytvoriť pomocou množín a Peanových axiómov, ale chcelo by to nejaký text aj s nejakými axiómami pre spočítavanie apod. Celé čísla viem vytvoriť len pomocou grúp, nedá sa to spraviť aj jednoduchšie? A o racionálnych nemám ani šajn. Vopred ďakujem.

Offline

 

#2 30. 01. 2013 16:31

Wellcosh
Příspěvky: 251
Škola: MFF
Pozice: student
Reputace:   28 
 

Re: Stvorenie čísel - ako na to?

Racionální čísla není problém definovat jako uspořádané dvojice celého a přirozeného čísla.
Co je chuťovka je konstrukce reálných čísel ...

Bůh řekl:
∇×H = j + ∂D/∂t        ∇⋅D = ρ
∇×E = -∂B/∂t            ∇⋅B = 0
A bylo světlo.

Offline

 

#3 30. 01. 2013 16:51

N3st4
Příspěvky: 240
Reputace:   12 
 

Re: Stvorenie čísel - ako na to?

Reálne čísla sa algebraicky ani nedajú, mýlim sa?
A v analýze ich nie je až také ťažké definovať.
A teda nevieš o nejakých textoch, aby som si to mohol prezrieť viac po matematicku? :)

Offline

 

#4 30. 01. 2013 16:57 — Editoval Creatives (30. 01. 2013 16:59)

Creatives
Příspěvky: 610
Škola: UP MAT-EKO(09-12, Bc.)
Pozice: Student
Reputace:   26 
 

Re: Stvorenie čísel - ako na to?

Realna cisla se tvori pomoci dedekinovych rezu ne??

Jinak pomoci googlu jsem behem 10 vterin nasel 3 pdfka tykajici se teto tematiky...

Offline

 

#5 30. 01. 2013 17:02

N3st4
Příspěvky: 240
Reputace:   12 
 

Re: Stvorenie čísel - ako na to?

Mohol by si tie pdf-ka pripnúť sem? Resp. aspoň kľúčové slová. Ja nad google-om sedím pol hodinu a sú tam len pákoviny. Zrejme zle hľadám.

Offline

 

#6 30. 01. 2013 17:05 — Editoval Rumburak (30. 01. 2013 17:16)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8691
Reputace:   502 
 

Re: Stvorenie čísel - ako na to?

Ahoj.

Základy aritmetiky přirozených čísel jsou popsány zde .

Z přirozených čísel se celá čísla vybudují následovně:

Množinu všech přirozených čísel označme $\mathbb{N}$ a na množině $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$ (kartéský součin)  definujme relaci

                 $(a, b) E (c, d)   \Leftrightarrow  a + d = c + b$

(uspořádaná dvojice $(a, b)$  je předobraz rozdílu $a - b$ i pro případ, kdy $b > a$). 
Lze ukázat, že relace $E$ je ekvivalence. Dále definujeme 

                   $\mathbb{Z} = (\mathbb{N}\times \mathbb{N}) / E$

(rozklad množiny $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$ podle ekvivalence $E$), množinu $\mathbb{Z}$ nazveme množinou celých čísel.

Přirozenému číslu $n$  odpovídá v $\mathbb{Z}$ rozkladová třída obsahující usp. dvojici $(n, 0)$ , tímto způsobem
je množina  $\mathbb{N}$ vnořena do $\mathbb{Z}$ .

Zbývá vhodně dodefinovat v $\mathbb{Z}$ uspořádání a aritmetické operace - tak, aby byly rozšířením již existujícího
uspořádání a operací v $\mathbb{N}$ při uvedeném vnoření.

V podstatě jde o to, jak nad pologrupou vybudovat grupu - na stejném principu se pak z celých čísel vybudují
čísla racionální (poněkud zde bude překážet nula, takže nejspíš bude nutno ji dočasně vyloučit ze hry).

Offline

 

#7 30. 01. 2013 17:13

N3st4
Příspěvky: 240
Reputace:   12 
 

Re: Stvorenie čísel - ako na to?

Ďakujem, no mám ešte otázku. Ako to myslíš, že na rovnakom princípe vybudujem racionálne čísla, keď princíp z prirodzených na celé je z pologrupy na grupu.? Netreba ešte ukázať, že pologrupa -> grupa je jednoznačné? Resp., že taká množina $\mathbb{Z}$ je práve jedna? Vyplýva to odniekiaľ?

Offline

 

#8 30. 01. 2013 17:27

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8691
Reputace:   502 
 

Re: Stvorenie čísel - ako na to?

↑ N3st4:

Dalo by se asi ukázat, že takto definované $\mathbb{Z}$ je nejmenší grupou obsahující pologrupu $(\mathbb{N}, +)$ a je určena jednoznačně
až na isomorfismus.

Celá čísla bez nuly vzhledem k NÁSOBENÍ tvoří pologrupu, která není grupou, a lze ji na grupu rozšířit analogicky,
jako jsme to udělali u přiirozených čísel pro operaci SČÍTÁNÍ.
Samozřejmě pak bude nutno rozšířit na rac. čísla i grupové operace a uspořádání ze $\mathbb{Z}$.

Offline

 

#9 30. 01. 2013 17:30

N3st4
Příspěvky: 240
Reputace:   12 
 

Re: Stvorenie čísel - ako na to?

To znie skvele. Ďakujem za informácie, pokiaľ by sa našiel k tomu materiál budem rád, ušetrím si čas.
Inak, veľká vďaka.

Offline

 

#10 30. 01. 2013 17:34

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8691
Reputace:   502 
 

Re: Stvorenie čísel - ako na to?

↑ N3st4:

V české literatuře bývá, myslím, doporučován Vl. Kořínek: Základy algebry, ale vlastní zkušenost s ní nemám.

Offline

 

#11 30. 01. 2013 17:36

N3st4
Příspěvky: 240
Reputace:   12 
 

Re: Stvorenie čísel - ako na to?

Keď sme už pri tých číslach, tak to vydebatujme úplne. Reálne čísla vytvorím z racionálych tým, že budem požadovať axiómu supréma (každá neprázdna množina má sup a inf), resp. každá cauchyho postupnosť nech je konvergentná?
A ako to je s komplexnými číslami, požadujem aby $x^{2}=-1$ bola riešiteľná. Tým zadefinujem i. Čo ďalej?

Offline

 

#12 30. 01. 2013 18:03

Stýv
Vrchní cenzor
Příspěvky: 5710
Reputace:   215 
Web
 

Re: Stvorenie čísel - ako na to?

↑ N3st4: http://www.karlin.mff.cuni.cz/~kalenda/data/uka-1.pdf


třeba si tam něco najdeš

Offline

 

 

Stránky: 1

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson