Matematické Fórum

domorodec_lk · 30. 01. 2013 06:13

mohl bych poprosit o kontrolu mého postupu a pochopení problematiky spočítání odmocniny pomocí diferenciálu?
mějmě $\sqrt{44}$ spočítat podle vzorce příkladu 7.5 ze stránky

$\sqrt{44}$ to se dá rozložit pod odmocninou na $\sqrt{25+19}\Rightarrow$ pro lepší počítání odmocnin. protože $\sqrt{25}$ je ${5}$ tak ji napíšu před odmocninu a pod odmocninu místo ${5}$ napíšu ${1}$ . ${19}$ vydělím prvním číslem před odmocněním číslem. bude to tedy vypadat následovně $5\sqrt{1+\frac{19}{25}}$ no a protože jsem teorii zřejmě nepochopil správně, tak tupě po dosazení do vzorce mi vyšelo toto:
$5(1+\frac{1}{2}\frac{19}{25})$ ta jedna polovina je určitě kvůli druhé odmocnině. kdyby tam byla třetí odmocnina, místo $\frac{1}{2}$ by tam byla $\frac{1}{3}$ ?

závorku roznásobím $5+1,9$ takže $\sqrt{25} \approx 6,9$ no a když výsledek umocním vyjde mi $6,9^{2}=47,61$ , což je docela rozdíl od původního. ikdyž je to výpočet jen přibližné odmocniny

Kittie · 30. 01. 2013 08:12

Nikdo netvrdí, že to musí vyjít "přesně" nebo hodně blízko, když zvolíš nepěknou funkci, vyjde aproximace diferenciálem úplně mimo.
V postupu nevidím žádnou botu.
Zkus to tedy alespoň pochopit :)
Vyrábíš diferenciál k funkci $\sqrt{1+x}$ . Zderivuješ funkci, vyjde ti $\frac{1}{2 \sqrt{1+x}}$ .
V bodě x=0 dostaneš tu 1/2, co chceš :) a za h dosadíš 19/25.

domorodec_lk · 30. 01. 2013 08:20

↑ domorodec_lk:

asi jsem pochopil i tu teorii.

řekl bych, že je potřeba pro co nejmenší chybu najít nejvyšší možnou odmocninu a s tou pracovat.

příklad
$\sqrt{48,2}$ postupoval bych takto nejbližší možná odmocnina je z čísla $49 = 7^{2}$ , protože $36 = 6^{2}$ a to je vzdálenější od čísla $48,2$

takže $\sqrt{48,2}$ lze zapsat i jako $\sqrt{49-0,8}$ $\sqrt{49-0,8}=7(1-\frac{1}{2}\frac{0,8}{49})\approx 7-7\frac{0,8}{98}\approx 7-7\frac{0,4}{49}\approx 7-0,2857\approx 9,9714$
což po umocnění výsledku dá $48,6$ takže chyba aproximace je $+0,4$

jde to i přesněji?

Kittie · 30. 01. 2013 08:32

Přesněji to jde pomocí Taylorova polynomu vyššího řádu, ale to asi nechceš.
A ano, platí, že čím menší je $h$ , tím přesnější by měla být aproximace. A tedy čím bližší mocninu vybereš, tím líp.

domorodec_lk · 30. 01. 2013 12:19

↑ Kittie: pomocí Taylorova polynomu bych to asi nezvládl. mohl bych poprosit o ukázku na čísle $\sqrt{48,2}$ ?

jelena · 30. 01. 2013 21:22

Zdravím v tématu,

↑ domorodec_lk:

pokud zadání je "vypočtete pomocí diferenciálu přibližnou hodnotu $\sqrt{44}$ ", potom bych nepoužila odkazovaný pomocný vzorec (protože on se ještě dokazuje - to bys asi jako první krok cvičení nedělal). Ale rovnou vzorec s využitím diferenciálu - v odkazu nad vzorcem (7.3), také si projdi označení na obrázku v odkazu.
$f(x_0+h)\doteq f(x_0)+f^{\prime}(x_0)h$
upravím $\sqrt{44}=2\sqrt{11}=2\sqrt{9+2}$ a budu počítat jen pro část $\sqrt{9+2}$ , potom výsledek vynásobím 2. Mám tedy:
$f(x)=\sqrt{x}$
$f(x_0)=f(9)=\ldots$
$h=2$
$f^{\prime}(x)=\ldots$
$f^{\prime}(x_0)=\ldots$

Podaří se dokončit? Děkuji.

kaja.marik

↑ domorodec_lk:

taky se da rict, ze 44=49-5

potom $\sqrt{44}\approx 7\left(1-\frac 5{2\cdot 49}\right)$ a to uz vychazi podstatne lip. Zkuste si rozmyslet proc.

To co navrhuje jelena je zase v podstate rozklad 44=36+8, taky to vyjde lip nez Vas puvodni navrh. A potom si jeste zkuste, ze treba napsat 44=9+35 vyjde uplne mizerne a budete mit cvicenicko, ktere pomuze pochopit princip aproximaci.

Honzc · 31. 01. 2013 08:14

↑ domorodec_lk:
Jen tak mezi námi.
Jak jsi přišel na to, že $7-7\frac{0,8}{98}\approx 7-7\frac{0,4}{49}\approx7-0,2857\approx 9,9714$
Podle mne je to $7-7\frac{0,4}{49}\approx 7-\frac{0.4}{7}\approx 6.94286$
A pak $6.94286^{2}\approx 48.203305$

domorodec_lk

↑ Honzc:
je to tak. k chybě došlo přepisem do fóra. omlouvám se za uvedení mylných vypočtených hodnot.

domorodec_lk · 04. 03. 2013 15:52

$h=2$ ↑ jelena:

pokud jsem to dobře pochopil, mělo by to být takto:
$f(x)=\sqrt{x}=\sqrt{11}$
$f(x_0)=f(9)=\sqrt{9}=3$
$h=2$
$f^{\prime}(x)=\sqrt{11}=11^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}11^{\frac{-1}{2}}$
$f^{\prime}(x0)=\sqrt{9}=11^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}9^{\frac{-1}{2}}$

pokud to dosadím do vzorce, vypadá to takto:
$f(x_0+h)\doteq f(x_0)+f^{\prime}(x_0)h$
$f(\sqrt{9+2})\doteq f(\sqrt9)+f^{\prime}(\sqrt9)h$
$f(\sqrt{11})\doteq 3+\frac{1}{2}9^{\frac{-1}{2}}\cdot 2$
$f(\sqrt{11})\doteq 3+\frac{1}{2}0,3333\cdot 2$
$f(\sqrt{11})\doteq 3,3333$

a protože původní odmocnina byla $\sqrt 44$ , vynásobím $3,3333$ číslem $2$ což je $6,6666$
a $6,6666^{2} = 44,44444356$
je moje úvaha správná? chyba aproximace potom je 0,44444356

p.s. omlouvám se za odmlčení

jelena · 05. 03. 2013 12:50

↑ domorodec_lk:

p.s. omlouvám se za odmlčení

omlouvám se, že jsem přehlídla, že jsi vložil řešení.

Jen drobnost:
a) f´(x) jsem předpokládala symbolický zápis derivace zadané funkce (zatím bez dosazování hodnot), $f^{\prime}(x)=\frac{1}{2\sqrt x}$ , Ty jsi rovnou dosadil 11, ale to by k řešení neprospělo, další krok je jen tak $f^{\prime}(x_0=9)=\frac{1}{2}9^{\frac{-1}{2}}$ , bez "kousku" $=\sqrt{9}=11^{\frac{1}{2}}$ (ten v zápisu nemá co dělat a ani smysl by to nemělo, rovnost neplatí).

b) chyba aproximace se vztahuje k vyčtenému výsledku, jak byl požadován (tedy k výsledku odmocnění).

c) v zápisu výsledku bych nedávala dekadický zápis po desetinné čárce, pokud v zadání není na kolik platných číslic má být zaokrouhleno. Tedy jen 2(3+1/3)=20/3.

d) můžeš ještě porovnat stejnou technikou výsledek z doporučení kolegy (děkuji):

kaja.marik napsal(a):
taky se da rict, ze 44=49-5

zde $x_0=49$ , $h=-5$ , vychází ještě lépe.

Stačí tak? Děkuji.

domorodec_lk

↑ jelena:

a) to jsem pochopil, ale dosadil jsem to, abych si upřesnil tu derivaci, pokud to nevadí. jinak $=\sqrt{9}=11^{\frac{1}{2}}$ tento zápis je moje nepozornost. místo 11 mělo být 9

b) jestli jsem tomu rozuměl dobře, tak chyba aproximace je rozdíl mezi skutečnou hodnotou po odmocnění a vypočtenou přibližnou hodnotou. tedy v případě $\sqrt{44}$ pro daný postup výpočtu by byla chyba aproximace 6,6332 - 6,66666, tedy 0,03334 (přibližně)

c) to zní velice rozumě, dám si na to pozor

d) ve zkratce: $\sqrt{44} =\sqrt{49-5}$
$\sqrt{49}+(\sqrt{49})'\cdot (-5)\doteq 7+\frac{1}{2}49^{\frac{-1}{2}}\cdot (-5)\doteq 7+(-0,357)\doteq 6,642857$ a to po umocnění je: $44,12755$

jak jsem jednou psal, čím menší je $h$ , tím přesnější je chyba aproximace?

jelena · 05. 03. 2013 21:55

↑ domorodec_lk:

řekla bych, že všechno v pořádku, jen zápis $(\sqrt{49})'$ nemáš používat, jelikož derivace konstanty je 0.
Lepší rozepsat $f^{\prime}(x)=\frac{1}{2\sqrt x}$ a potom dosazování $f^{\prime}(x_0)=f^{\prime}(49)=\frac{1}{2}49^{\frac{-1}{2}}$ a výslednou hodnotu dosadit do celkového vzorce pro výpočet přibližné hodnoty odmocniny. Můžeš to celé samozřejmě provést jen v hlavě, ale na papíře se nemá objevovat $(\sqrt{49})'$ .

A opět bych nepoužívala dekadický zápis, nebo si sám dej podmínku - počítám na "... počet platných číslic".

jak jsem jednou psal, čím menší je $h$ , tím přesnější je chyba aproximace?

ano, můžeš zkoušet i na obrázku v odkazu (z Tvého 1. příspěvku). Při nulovém h jsme přesně na hodnotě. Ve cvičení můžeš pokračovat dle pokynu:

kaja.marik napsal(a):
A potom si jeste zkuste, ze treba napsat 44=9+35 vyjde uplne mizerne a budete mit cvicenicko, ktere pomuze pochopit princip aproximaci.

domorodec_lk · 06. 03. 2013 07:56

↑ jelena:

tedy shrnuto:
$\sqrt{44}=\sqrt{36+8}$ $h=8$
$\sqrt{36}+\frac{1}{2\sqrt36}\cdot 8\doteq 6+\frac{8}{12}\doteq 6+\frac{2}{3}\doteq \frac{20}{3}$ po zpětném umocnění vyjde $44,44444444$

$\sqrt{44}=\sqrt{49-5}$ $h=5$
$\sqrt{49}+\frac{1}{2\sqrt49}\cdot (-5)\doteq 7-\frac{5}{14}\doteq \frac{93}{14}$ po zpětném umocnění vyjde $44,12755102$

$\sqrt{44}=\sqrt{9+35}$ $h=35$
$\sqrt{9}+\frac{1}{2\sqrt9}\cdot 35\doteq 3+\frac{35}{6}\doteq \frac{53}{6}$ po zpětném umocnění vyjde $78,02777778$

dekadický zápis počítán na osm platných desetiných míst. (h uvažuji jako absolutní hodnotu, protože se jedná o rozdíl)

jelena · 06. 03. 2013 16:46

↑ domorodec_lk:

pokud nic nepřihlížím, tak v pořádku.

(h uvažuji jako absolutní hodnotu, protože se jedná o rozdíl)

Myslíš v 2. případě? $x_0=49$ , $h=-5$ (to bych neřekla, že uvažovat absolutní hodnotu, pokud nemáš na mysli "absolutní hodnotu změny"). Spíš můžeš uvažovat $\sqrt{44} =\sqrt{49+(-5)}$ . Nebo si představit, že v případech (1), (3) jsi zvolil $x_0$ před hledanou hodnotou (na ose x), funkce $f(x)=\sqrt{x}$ je rostoucí, přidání h na ose x přidává $\Delta y$ na ose y, v případě (2) je tomu naopak.

domorodec_lk · 07. 03. 2013 05:56

↑ jelena:

abych poupravil a doplnil myšlenku s tím "h". uvažoval jsem při zápisu "h=hodnota změny" absolutní hodnotu změny. jinak samozřejmě respektuji ve výpočtech znaménka. ještě nemám to správné matematické vyjadřování, ale pracuji na tom. děkuji za vysvětlenou. pokud není nic, uzavřel bych to.

Matematické Fórum

#1 30. 01. 2013 06:13

odmocnina pomocí diferenciálu

#2 30. 01. 2013 08:12

Re: odmocnina pomocí diferenciálu

#3 30. 01. 2013 08:20

Re: odmocnina pomocí diferenciálu

#4 30. 01. 2013 08:32

Re: odmocnina pomocí diferenciálu

#5 30. 01. 2013 12:19

Re: odmocnina pomocí diferenciálu

#6 30. 01. 2013 21:22

Re: odmocnina pomocí diferenciálu

#7 31. 01. 2013 05:53 — Editoval kaja.marik (31. 01. 2013 14:56)

Re: odmocnina pomocí diferenciálu

#8 31. 01. 2013 08:14

Re: odmocnina pomocí diferenciálu

#9 04. 03. 2013 09:18 — Editoval domorodec_lk (04. 03. 2013 10:04)

Re: odmocnina pomocí diferenciálu

#10 04. 03. 2013 15:52

Re: odmocnina pomocí diferenciálu

#11 05. 03. 2013 12:50

Re: odmocnina pomocí diferenciálu

kaja.marik napsal(a):

#12 05. 03. 2013 14:07 — Editoval domorodec_lk (05. 03. 2013 14:58)

Re: odmocnina pomocí diferenciálu

#13 05. 03. 2013 21:55

Re: odmocnina pomocí diferenciálu

kaja.marik napsal(a):

#14 06. 03. 2013 07:56

Re: odmocnina pomocí diferenciálu

#15 06. 03. 2013 16:46

Re: odmocnina pomocí diferenciálu

#16 07. 03. 2013 05:56

Re: odmocnina pomocí diferenciálu

Zápatí