Matematické Fórum

hmyzak · 14. 12. 2008 09:24 — Editoval hmyzak (14. 12. 2008 09:25)

$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\sqrt[3]{z}%2C%20kde....z%3D(1%2Bi\sqrt{3})^3.(1-i)^7%2B64i$

Ahoj, počítal jsem tuto odmocninu několikrát, přes pascalův trojúhelník, rozkladem na součin odmocnin, ale stále ne a ne přijít na nějaký rozumný výsledek. Pokud vás něco napadá, budu rád, když mi pomůžete. Díky

ttopi · 14. 12. 2008 09:37

Já bych to napsal do rovnice.

Hledám takové a+bi, že když ho umocnim na třetí, dostanu z. Pak bych si dal do rovnosti reálné a imaginární složky a řešil jako soustavu. Nevím, zda to povede k cíli, ale my jsme to tak dělali, ikdyž jen pro druhou odmocninu, ale snad by to mohlo jít.

jelena · 14. 12. 2008 10:04 — Editoval jelena (14. 12. 2008 10:18)

↑ ttopi:

Zdravím :-)

nejdřím musíš najit z. První závorka dle vzorce (a + b)^3, druha zavorka ((c-d)^2)3 * (c-d). Pak pootvirat zavorky, najit z.

a použit http://cs.wikipedia.org/wiki/Moivreova_v%C4%9Bta pro hledání odmocniny komplexního čísla

OT - hlasim splneni ukolu :-)

ttopi · 14. 12. 2008 10:05

↑ jelena:
Též zdravím :-)

To je samozřejmý, že se nejdřív to z musí najít a dát do pořádnýho tvaru. Mě šlo spíše o tu myšlenku s rovnicí, jako jsme to dělal loni na Algebře a Aritmetice :-)

jelena · 14. 12. 2008 10:08

↑ ttopi:

to bych se nemorila s hledanim a pouzila: http://cs.wikipedia.org/wiki/Moivreova_v%C4%9Bta

ttopi · 14. 12. 2008 10:10

Ale tak to roznásobení by snad nebylo tak těžké, ne... :-)

jelena · 14. 12. 2008 10:21

↑ ttopi:

Které roznasobení máš na mysli, které navrhuji já nebo které? Víš, že v tuto ranní hodinu funguji "na automat" :-)

ttopi · 14. 12. 2008 10:23

↑ jelena:

"cvak"
...

Myslím, to původní zadání, že nebude zas tak těžké roznásobit, tedy myslím :-) Víš?

...

"cvak"

A už zas nevíš :-))

hmyzak · 14. 12. 2008 10:27 — Editoval hmyzak (14. 12. 2008 10:28)

Roznásobeno, vyšlo mi :

$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=z%3D-16%2B24i\sqrt{3}-8i.3^\frac{3}{2}-16i-24\sqrt{3}%2B8.3^\frac{3}{2}$ +64i

Takže teď přes Moiverovu větu?

jelena · 14. 12. 2008 10:44

↑ hmyzak:

to není dobře roznásobeno :-(

Odmocniny z 3 v 1. závorce nezlstanou: http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=2621

$(1+\mathrm i \sqrt3)^3 = 1 +3\mathrm{i} \sqrt3 + 3( \mathrm i \sqrt3)^2+( \mathrm i \sqrt3)^3=1+3\mathrm{i} \sqrt3 - 9 - 3\mathrm i \sqrt3 = -8$

Doufám, že jsem to "cvak" zvladla :-)

hmyzak · 14. 12. 2008 11:09

↑ jelena:

aha, cvak :-)

hmyzak · 14. 12. 2008 11:27 — Editoval hmyzak (14. 12. 2008 11:39)

Takže teď mi vyšlo, že třetí odmocnina ze z= třetí odmocnina z -64, jak mám postupovat dále?

Chrpa · 14. 12. 2008 11:41 — Editoval Chrpa (14. 12. 2008 12:00)

↑ hmyzak:
Třetí odmocnina z -64 = -4
(-4)^3 = -64

hmyzak · 14. 12. 2008 11:52

↑ Chrpa:

ježiš, měl jsem ranní zatmění :-) díky všem za pomoc

jelena · 14. 12. 2008 12:06

↑ hmyzak:

není to jedno řešení :-(

http://www.karlin.mff.cuni.cz/~robova/s … 2.html#u11 pokud se nelibi odkaz na wiki, zkus prostudovat tento.

OK?

Pavel · 14. 12. 2008 12:33

↑ hmyzak:

Pomocí Moivreovy věty je snadné ukázat, že

$1+i\sqrt 3=2\bigl(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\bigr)\nl (1+i\sqrt 3)^3=2^3\bigl(\cos\bigl(3\cdot\frac{\pi}{3}\bigr)+i\sin\bigl(3\cdot\frac{\pi}{3}\bigr)\bigr)=8(\cos\pi+i\sin\pi)=-8$

$1-i=\sqrt 2\,\bigl(\cos\frac{7\pi}{4}+i\sin\frac{7\pi}{4}\bigr)\nl (1-i)^7=(\sqrt 2)^7\bigl(\cos\bigl(7\cdot\frac{7\pi}{4}\bigr)+i\sin\bigl(7\cdot\frac{7\pi}{4}\bigr)\bigr)=8\sqrt2(\cos\frac{49\pi}{4}+i\sin\frac{49\pi}{4})=8\sqrt2(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4})=8\sqrt2(\frac{\sqrt 2}{2}+i\frac{\sqrt 2}{2})=8+8i$

$z=(1+i\sqrt 3)^3(1-i)^7+64i=-8(8+8i)+64i=-64-64i+64i=-64=64(\cos\pi+i\sin\pi)\nl \sqrt[3]z=\sqrt[3]{64}\bigl(\cos\frac{\pi+2k\pi}{3}+i\sin\frac{\pi+2k\pi}{3}\bigr)=4\bigl(\cos\frac{\pi+2k\pi}{3}+i\sin\frac{\pi+2k\pi}{3}\bigr),\qquad 0\leq k\leq 2\nl k=0\qquad\Rightarrow\qquad 4\bigl(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\bigr)=4\bigl(\frac 12+i\frac{\sqrt 3}{2}\bigr)=2+2i\sqrt 3\nl k=1\qquad\Rightarrow\qquad 4\bigl(\cos\pi+i\sin\pi\bigr)=4(-1+0i)=-4\nl k=2\qquad\Rightarrow\qquad 4\bigl(\cos\frac{5\pi}{3}+i\sin\frac{5\pi}{3}\bigr)=4\bigl(\frac 12-i\frac{\sqrt 3}{2}\bigr)=2-2i\sqrt 3$

Protože odmocnina v komplexním oboru není dána jednoznačně, úloha má tři řešeni.

Matematické Fórum

#1 14. 12. 2008 09:24 — Editoval hmyzak (14. 12. 2008 09:25)

třetí odmocnina

#2 14. 12. 2008 09:37

Re: třetí odmocnina

#3 14. 12. 2008 10:04 — Editoval jelena (14. 12. 2008 10:18)

Re: třetí odmocnina

#4 14. 12. 2008 10:05

Re: třetí odmocnina

#5 14. 12. 2008 10:08

Re: třetí odmocnina

#6 14. 12. 2008 10:10

Re: třetí odmocnina

#7 14. 12. 2008 10:21

Re: třetí odmocnina

#8 14. 12. 2008 10:23

Re: třetí odmocnina

#9 14. 12. 2008 10:27 — Editoval hmyzak (14. 12. 2008 10:28)

Re: třetí odmocnina

#10 14. 12. 2008 10:44

Re: třetí odmocnina

#11 14. 12. 2008 11:09

Re: třetí odmocnina

#12 14. 12. 2008 11:27 — Editoval hmyzak (14. 12. 2008 11:39)

Re: třetí odmocnina

#13 14. 12. 2008 11:41 — Editoval Chrpa (14. 12. 2008 12:00)

Re: třetí odmocnina

#14 14. 12. 2008 11:52

Re: třetí odmocnina

#15 14. 12. 2008 12:06

Re: třetí odmocnina

#16 14. 12. 2008 12:33

Re: třetí odmocnina

Zápatí