Matematické Fórum

smiesek · 14. 12. 2008 09:45

Dobrý den,
prosím o pomoc při řešení následujícího příkladu, stále se nemohu dopracovat ke správnému výsledku.

Zadání: Vypočítejte obsah plochy, která je omezená grafy funkcí
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=y%3Dx^3$
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=y%3Dx$
Výsledek: $http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\frac{1}{2}$

Mé následující řešení:
určení meze
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=y%3Dy$
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=x^3%3Dx$
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=x^3-x%3D0$
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=x*(x^2-1)%3D0$
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=x%3D-1$
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=x%3D1$

$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=S%3D\int_{-1}^{1}(x^3-x)dx%3D$
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%3D\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}$
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%3D(\frac{1^4}{4}-\frac{1^2}{2})-(\frac{-1^4}{4}-\frac{-1^2}{2})%3D(\frac{-1^4}{4}-\frac{-1^4}{4})%3D\frac{0}{4}$

Tak prosím netuším, kde dělám chybu, vím, že je to o blbém dosazování a znaménkování, ale už jsem z toho nešťastná.
Děkuji za jakoukoliv pomoc

ttopi · 14. 12. 2008 09:53 — Editoval ttopi (14. 12. 2008 09:54)

Už to vidim.. Když si nakreslíš tu plochu, tak vidíš, že má 2 části. Jednu při x od 0 do 1 a druhou při x od -1 do 0. Ty části jsou stejné, takže počítáš 2* integrál, ale ted pozor - (x-x^3) protože v tom prvním kvadrantu je přeci x větší než x^3 na intervalu <0;1>.
$2\int_{0}^{1}(x-x^3)\ dx=2\Big[\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}\Big]_0^1=2\Big(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\Big)=\frac{1}{2}$

Aneb pokud plocha prochází osou x, musíš to rozdělit.

smiesek · 14. 12. 2008 10:15

↑ ttopi: už to chápu a děkuji za pomoc.
Já pouze byla v domění, že to lze udělat v intervalu buď <-1,1> nebo jak uvádíš 2*<0,1>
Ještě jednou děkuji

ttopi · 14. 12. 2008 10:19

Tam jde o to, že ten obsah se počítá jakoby Newtonovým Integrálem F(b)-F(a). Ale pokud je zrovna takovýto graf, tak vyjde 0,protože se ty integrály na jednotlivých intervalech odečtou. Pokud chceš tedy počítat plochu, musíš to vždy takto rozdělit :-)

smiesek · 14. 12. 2008 10:55

↑ ttopi: naprosto vyčerpávající odpověď a pomoc.
Jsem zase o něco chytřejší, mockrát děkuji a pěkný Vánoce :o)

Matematické Fórum

#1 14. 12. 2008 09:45

výpočet určitého integrálu

#2 14. 12. 2008 09:53 — Editoval ttopi (14. 12. 2008 09:54)

Re: výpočet určitého integrálu

#3 14. 12. 2008 10:15

Re: výpočet určitého integrálu

#4 14. 12. 2008 10:19

Re: výpočet určitého integrálu

#5 14. 12. 2008 10:55

Re: výpočet určitého integrálu

Zápatí