Matematické Fórum

Katsushiro · 14. 12. 2008 18:46

Tak... Byl jsem týden nemocný, přijdu na gympl a vůbec nevím o co jde.... :-) Lépe řečeno, není mi vůbec jasný postup. Můžete mi pls poradit jak se takové úlohy řeší?
P.s.: Např.: mám dokázat, že 12/n^4-n^2 platí pro každé n\inR. Ještě pochopím, že 12=3.4 , ale tím moje vědomosti končí. Viděl jsem, nějaké n=3k, n=3k+1 ... a toto se pak dosazuje do tvaru n^2(n-1).(n+1) ... Ale vůbec nevím (jak už jsem někde psal :-) ) o co jde

halogan · 14. 12. 2008 19:05

Můžeš použít přímý důkaz. Dokazuješ, že daný výraz je dělitelný třemi i čtyřmi. Dosadíš tedy za n výraz "3k", popř. "4k" symbolizující číslo dělitelné 3 (resp. 4). k je z N (+0).

Pak upravíš ten výraz a zkusíš z něj vytknout 3 (resp. 4). Pak ten výraz v závorce musí být celé číslo, aby celý výraz byl dělitelný trojkou (čtyřkou).

Když to dokážeš pro trojku i čtyřku, tak máš důkaz pro 12.

Nebo ještě popohnat?

Katsushiro · 14. 12. 2008 19:13

Díky... Snad jasné, pokud bys mohl, pls rozepiš to ať si sem jistý, že to mám dobře :-).
P.s.: A pro to n=3k+1 atd. to už dokazovat teda nemusím...?

Pavel · 14. 12. 2008 19:33 — Editoval Pavel (14. 12. 2008 19:34)

↑ Katsushiro:

$n^4-n^2=n^2(n^2-1)=n^2(n-1)(n+1)$

Teď stačí uvážit, že $n-1$ , $n$ a $n+1$ jsou tři po sobě jdoucí přirozená čísla. Je-li $n$ sudé, je $n^2$ dělitelné čtyřmi a tedy $n^2(n-1)(n+1)$ je také dělitelné čtyřmi. Je-li naopak $n$ liché, pak $n-1$ a $n+1$ jsou sudá, $(n-1)(n+1)$ je dělitelné čtyřmi, a tedy $n^2(n-1)(n+1)$ je opět dělitelné čtyřmi. Dokázali jsme tedy, že ať je $n$ jakékoliv přirozené číslo, je $n^4-n^2$ vždy dělitelné čtyřmi.

Protože $n-1$ , $n$ a $n+1$ jsou tři po sobě jdoucí přirozená čísla, musí být z nich právě jedno dělitelné třemi. Pak je také součin $n(n-1)(n+1)$ , tím spíše výraz $n^4-n^2$ dělitelný třemi.

Dělitelnost 3 + dělitelnost 4 = dělitelnost 12.

Katsushiro · 14. 12. 2008 19:36

↑ Pavel:
Moc díky, už je mi to jasné.

Kondr · 14. 12. 2008 20:34

↑ Katsushiro:Druhá možnost je hrubá síla. Tedy dokazovat dělitelnost třemi tak, že to rozdělíš na případy n=3k,n=3k+1,n=3k-1 a dělitelnost 4 rozdělením na n=4l,n=4l-1,n=4l+1 a n=4l+2. Můžeš u toho využít faktu, že $a|(b+ak)^t-b^t$ , takže místo 3k+1 stačí psát 1, místo 3k-1 psát -1 apod. Stačí nám tedy ověřit že
$3|0^4-0^2$
$3|1^4-1^2$
$3|(-1)^4-(-1)^2$
analogicky pro dělitelnost 4.

Takovéto řešení není elegantní, může být ale rychlejší, pokud elegantní cesta není vidět. Bohužel nestačí projít jen jednu větev, jak by se mohlo zdát z Haloganova příspěvku.

Další častou cestou jak ukázat, že a|f(n) pro nějakou funkci f a všechna přirozená n, je indukce. V bázovém kroku se musí ukázat, že a|f(1) a v indukčním že a|f(k+1)-f(k). Pak z indukčního předpokladu, že a|f(k), dostáváme a|f(k+1) (když a dělí dvě čísla, dělí i jejich součet) a důkaz je hotov.
V našem případě by to znamenalo dokazovat, že 12|4k^3+6k^2+2k, což je tak trochu z louže pod okap :o)

Matematické Fórum

#1 14. 12. 2008 18:46

Dokazovací úlohy o dělitelnosti

#2 14. 12. 2008 19:05

Re: Dokazovací úlohy o dělitelnosti

#3 14. 12. 2008 19:13

Re: Dokazovací úlohy o dělitelnosti

#4 14. 12. 2008 19:33 — Editoval Pavel (14. 12. 2008 19:34)

Re: Dokazovací úlohy o dělitelnosti

#5 14. 12. 2008 19:36

Re: Dokazovací úlohy o dělitelnosti

#6 14. 12. 2008 20:34

Re: Dokazovací úlohy o dělitelnosti

Zápatí