Matematické Fórum

Wellcosh

Ahoj,

v optice jsem narazil na integrál tvaru
$\int\limits_0^{\infty} e^{-i \alpha x^2} x \mbox{d} x$
kde $\alpha$ je reálná konstanta.

Kdybych ho chtěl spočítat jako (zobecněný) přírůstek primitivní funkce, dostal bych
$\left[ {e^{-i \alpha x^2} \over -2 i \alpha }\right]_0^{\infty} = \lim_{x \rightarrow \infty} {e^{-i \alpha x^2} \over -2 i \alpha } + {1 \over 2i \alpha}$
Tato limita ale neexistuje.

Učebnice to řeší tak, že se do argumentu exponeniály připíše $\beta$ a pak tvrdí, že platí

$\int\limits_0^{\infty} e^{-i \alpha x^2} x \mbox{d} x = \lim\limits_{\beta \rightarrow 0} \int\limits_0^{\infty} e^{-(\beta +i \alpha) x^2} x \mbox{d} x$

Fakticky tedy došlo k prohození integrálu a limity, tedy měla by se ověřit Leviho nebo Lebesgueova věta.
Levi zřejmě nelze použít, na Lebesguea bychom potřebovali integrovatelnou majorantu a vůbec mě nenapadá jakou.

Nenapadá někoho, proč si můžeme takovou úpravu dovolit?

Brano · 03. 02. 2013 22:58 — Editoval Brano (03. 02. 2013 23:00)

Problem je asi v tom ze ocakavas od fyziky, ze bude vyuzivat matematiku korektne, co je trochu naivne :-)
Pokial viem, tak sa ta limita s integralom prehodit neda. Da sa to obist tak, ze ak chces byt "prilis" korektny, tak ten vyraz ktory si chcel vypocitat namiesto toho takto definujes. Pripadne si mozes v postupe poriadnejsie pozrit, kde by sa mohla urobit malicka zmena v definicii aby si dostal to co potrebujes. Zdovodnenie moze byt nejake take, ze ved my nevieme ci je to $e^{-i\alpha x^2}$ alebo $e^{-(\beta+i\alpha) x^2}$ pre malicke $\beta$ - kto nameria rozdiel. Potobne triky sa pouzivaju casto a su v kompetencii toho co buduje danu teoriu.

edit: zhrnutie - teda ta uprava nie je vo vypocte, ale (niekde) v definicii

Matematické Fórum

#1 03. 02. 2013 14:21 — Editoval Wellcosh (03. 02. 2013 14:22)

Výpočet integrálu

#2 03. 02. 2013 22:58 — Editoval Brano (03. 02. 2013 23:00)

Re: Výpočet integrálu

Zápatí