Matematické Fórum

Luco · 03. 02. 2011 13:22 — Editoval Luco (03. 02. 2011 13:24)

Zadání:
Každá z 500 kontrolovaných součástek byla podrobena třem nezávislým zkouškám. Počty $n_i$ součástek, které neuspěly v $i = 0, 1, 2, 3$ jsou po řadě 306, 150, 32, 12.
Použitím $\chi^2$ - testu dobré shody testujte na hladině významnosti $\alpha = 0.05$ hypotézu $H_0$ : " Pozorované četnosti se shodují s Poissonovým rozdělením $Po( \lambda )$ ".

Pozn.: Při výpočtech položte $\lambda = \overline{x}$ , kde $\overline{x} = \frac{1}{500} \sum_{i=0}^3 i \cdot n_i$

Řešení:
Bude následovat, každopádně, pokud k tomu máte někdo nějakou radu tak sem s ní. Děkuji

Luco · 03. 02. 2011 14:05 — Editoval Luco (03. 02. 2011 14:06)

Hodnota $\overline x=\frac12$ , tedy $\lambda = 0.5$ , pro tuto hodnotu je Poissonovo rozdělení tabelováno. Ale co dál?

LukasM · 03. 02. 2011 14:23

↑ Luco:
Podívej se na poslední dvě stránky těchto skript, zejména na Pozn. 9.15.

Honzc · 03. 02. 2011 14:23

↑ Luco:
Píšeš, že řešení bude následovat, tak čekáme.

Luco · 03. 02. 2011 15:45

↑ Honzc:

To bych to nejdřív musel vypočítat :'(

Jak mám z toho Poissonova rozdělení získat očekávané hodnoty, abych je mohl posoudit?

Luco · 03. 02. 2011 15:55

Mohlo by to být takhle? :
Tabelována je distribuční fce, takže ppstní fce je P(x) = F(x) - F(x-1)

pro i = 0 : Po(0.5) = 0.607, takže očekáváme 500*0.607 = 303.5
pro i = 1 : Po(0.5) = 0.910, 0.910 - 0.607 = 0.303, takže očekáváme 500*0.303 = 151.5
pro i = 2 : Po(0.5) = 0.986, 0.986 - 0.910 = 0.076, takže očekáváme 500*0.076 = 38
pro i = 3 : Po(0.5) = 0.998, 0.998 - 0.986 = 0.012, takže očekáváme 500*0.012 = 6

Luco · 03. 02. 2011 16:13 — Editoval Luco (03. 02. 2011 17:29)

Potom by byl :
$\chi^2=\sum_{i=0}^k\frac{(n_i-n_i^o)^2}{n_i^o} = \frac{(306-303.5)^2}{303.5}+\frac{(150-151.5)^2}{151.5}+\frac{(32-38)^2}{38}+\frac{(12-6)^2}{6} = 6.9828$

$\chi^2_{0.95}(3) = 7.81 > 6.98 => H_0$ nezamítáme.

Může mi někdo odsouhlasit, že je to takhle správně?

Honzc · 04. 02. 2011 06:28

↑ Luco:
Chlapče, chlapče, nevím jaké hloupé připomínky jsem podle tebe měl. Ty jsi napsal, že řešení bude následovat, a místo prosby o pomoc nám přikazuješ, že ti máme dávat nějaké svoje nápady.

Luco · 04. 02. 2011 06:43

↑ Honzc:

Je třeba se věnovat tématu, ne si tu posilovat ego. Nikomu nic nepřikazuji, pouze žádám o rady, jak bylo jednoznačně napsáno již výše. Silácký řeči typu: "Píšeš, že řešení bude následovat, tak čekáme" patří možná tak na Facebook. Pokud jsi do tohoto tak zainteresovaný, tak rozhodni, jestli byl nějaký parametr odhadován nebo ne, tím by se změnil stupeň volnosti chí-kvadrátu a zároveň celý výsledek testu.

Honzc · 04. 02. 2011 09:30

↑ Luco:

Napsal jsi:
"Řešení:
Bude následovat, každopádně, pokud k tomu máte někdo nějakou radu tak sem s ní."

Pokud mi z předešlé věty vypíšeš slovíčko, které znamená žádost o pomoc, tak potom se ti třeba i omluvím. Jinak každý jsme tak trochu ješita a já si třeba zakládám na své reputaci. A abys mi ji nepravdivým zdůvodněním snižoval se mi prostě nelíbí.

tonda13 · 04. 02. 2013 16:20

↑ Luco:
Nejsou ty stupně volnosti spíše 2?
$K=4, \varkappa^{2} (k-1)$ to by dávalo 3, ale jelikož jsme odhadovali parametr $\lambda$ musíme ještě odečíst 1 tedy:
$\varkappa^{2} (k-1-1)=\varkappa^{2}(2)$

Potom je tedy výsledek poněkud odlišný:
$\varkappa^{2}_{0,95}(2)=5,99$
$\varkappa^{2}_{0,95}(2) < \varkappa^{2}$
$5,99 < 6,9892 => zamitame H_{0}$