Matematické Fórum

Carnage · 06. 02. 2013 14:18

Zdravím, potřeboval bych prosím vyřešit tyto dvě slovní ulohy:
1) Pokladna má zámek s 5 kotouči, na nichž jsou číslice 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Zámek se otevře,
jestliže se nastaví pěticiferné číslo, které je heslem. Pokladník zapomněl heslo a pamatuje si
pouze číslici na místě desítek. Jak dlouho by mu trvalo vyzkoušení všech možných pětic čísel se
známou číslicí na místě desítek, jestliže na nastavení jedné pětice potřebuje 3,6 sekundy.

2)Na sportovním kurzu jsou do závodu vybírána tříčlenná družstva, v nichž má každý závodník
svoji funkci – vedoucí družstva, jednatel a kurýr. Kolika způsoby lze z 10 chlapců a 13 dívek
sestavit takové družstvo, jestliže:
pro volbu družstva neplatí žádná omezující pravidla,
(10626)
vedoucí družstva musí být chlapec,
(4620)
jednatelkou musí být dívka,
(6006)
v družstvu mohou být nejvýše dva chlapci.
(4446)
Zkoušel jsem mnoho možnotí, ale nikdy jsem se nedopracoval ke správnému řešení.

Děkuji za ochotu a váš čas.

Arabela · 06. 02. 2013 15:53

Ahoj ↑ Carnage:,
pri týchto úlohách Ti môže vynikajúco pomôcť "okienková" metóda a uplatnenie kombinatorického pravidla súčinu.
1.úloha. Máme 5 "okienok" vedľa seba. Obsahom prvého okienka môže byť ľubovoľná z desiatich číslic, obdobne u druhého a tretieho okienka, vo štvrtom okienku bude tá jedna konkrétna zapamätaná hodnota a v piatom okienku opäť 10 možností. Celkove je teda 10.10.10.1.10= $10^{4}$ možností, teda desaťtisíc pätíc. Dĺžka potrebného času bude $3,6.10^{4}$ sekúnd, čo už nie je problém premeniť na hodiny (pekné číslo).
2.úloha. Tentoraz tri okienka vedľa seba, prvé je pre vedúceho, druhé pre jednateľa a tretie pre kuriéra.
a) všetkých účastníkov je 10+13=23 a ktorýkoľvek z nich môže byť vedúci, následne máme už iba 22 možností pre jednateľa a následne už iba 21 možností pre kuriéra; teda celkovo 23.22.21=10626
b) 10.22.21=4620
atď.

ChMcL · 06. 02. 2013 16:00

↑ Carnage:

Já se zaměřím na ten druhý příklad, jelikož je jednodušší ...

Budeme vybírat trojici, ve které záleží na pořadí a prvky se nemohou opakovat, tedy použijeme variace.

Variace se počítá buď jako $V_{n}(k)=n(n-1)*...*(n-k+1)$ nebo $V_{n}(k)=\frac{n!}{(n-k)!}$

a) pro volbu neplatí žádná pravila, to znamená, že budeme vybírat trojici z 23 prvků

$V_{3}(23)=\frac{23!}{(23-3)!}=\frac{23!}{20!}=10 626$

b) vedoucí družstva má být chlapec, tedy vybíráme jeden prvek z 10 chlapců a zároveň vybereme dva prvky ze zbývajících 22 (jednatel a kurýr může být chlapec i děvče) ... když platí "a zároveň", tak musíme použít násobení!

$V_{1}(10)*V_{2}(22)=\frac{10!}{9!}*\frac{22!}{20!}=4620$

c) jednatelkou musí být dívka (obdobná situace jako v b) ... vybíráme jeden prvek z 13 děvčat a dva prvky ze zbývajícíh 22 děvšat a chlapců ... opět musíme vynásobit ..

$V_{1}(13)*V_{2}(22)=\frac{13!}{11!}*\frac{22!}{20!}=6006$

d) v družstvu mohou být nejvýše dva chlapci, co to znamená? .. buď tam bude žádný chlapec NEBO tam bude jeden chlapec NEBO tam budou dva chlapci .. když se používá "nebo" .. tak se možnost sčítají ..

$V_{3}(13)+V_{1}(10)*V_{2}(13)+V_{2}(10)*V_{1}(13)=4446$

Matematické Fórum

#1 06. 02. 2013 14:18

Variace

#2 06. 02. 2013 15:53

Re: Variace

#3 06. 02. 2013 16:00

Re: Variace

Zápatí