Matematické Fórum

X3R0Cz · 06. 02. 2013 12:27

Ahoj, potřeboval bych pomoct s tímto příkladem:

Reálná část komplexního čísla z=(-1+i)^33 se rovná číslu?

Tento příklad jsem řešil už kdysi na střední škole, bohužel jsem už ale zapomněl, jak se to dělá. Chtěl bych vás tedy poprosit o radu v tomto příkladu a také bych se chtěl zeptat, jak by se měnily jednotlivé postupy, kdybych například dostal v závorce výraz (1+i) nebo (1-i) nebo (-1-i).

Předem díky za vaši odpověď.

Dušan

marnes · 06. 02. 2013 12:34

↑ X3R0Cz:
1) převedeme na goniometrický tvar
2) Moivreova věta
3) převedení na algebraický tvar

Hanis · 06. 02. 2013 12:59

Ahoj,
nebo "trikově":
$(-1+i)^{33}=$(-1+i)^2$^{16}\cdot(-1+i)=(1-2i-1)^{16}\cdot (-1+i)=...$

ChMcL · 06. 02. 2013 17:26

↑ X3R0Cz:

Komplexní číslo $-1+i$ převedeme na goniometrický tvar, kde lze využít Moivreovu větu.

V goniometrické tvaru je definováno jako $z=|z|(\cos \varphi +i\sin \varphi )$

Můžete si jej nakreslit do Gaussovy roviny (na reálnou osu naneseme -1 a na imaginární +i), kde uvidíte, jaký úhel budou svírat, tedy je zřejmé, že bude svírat úhel o velikosti $135^\circ$

$\varphi =135^\circ$ ... což je $\varphi =\frac{3}{4}\pi$

Teď vypočteme absolutní hodnotu $|z|=\sqrt{(-1)^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$

Teď naše komplexní číslo zapíšeme do goniometrického tvaru ...

$z=\sqrt{2}(\cos \frac{3}{4}\pi +i\sin \frac{3}{4}\pi )$

Využijeme Miovreovu větu ..

$[\sqrt{2}(\cos \frac{3}{4}\pi +i\sin \frac{3}{4}\pi)]^{33}$

$(\sqrt{2})^{33}*[\cos (33*\frac{3}{4}\pi) +i\sin (33*\frac{3}{4}\pi)]$

Dál už dokážete dopočítat? Pak je převedete na algebraický tvar, a máte to! :-)

Změní se postupy ....

$1+i$ .... úhel bude $\varphi =45^\circ$ ... což je $\varphi =\frac{\pi }{4}$

$1-i$ .... úhel bude $\varphi =315^\circ$ ... což je $\varphi =\frac{7}{4}\pi$

$-1-i$ .... úhel bude $\varphi =225^\circ$ ... což je $\varphi =\frac{5}{4}\pi$

X3R0Cz · 06. 02. 2013 19:44

Moc děkuju za odpovědi. Už jsem i teoreticky pochopil, jak se s tím pracuje, takže vám moc díky (zejména uživateli ChMCl)

ChMCl: Podle vašeho postupu jsem dostal rovnici dostat do tvaru a aplikoval jsem Moiverovu větu. S tvarem, kde je exponent 33 si ale nevím rady. Výsledek tohoto příkladu má být 2^16, k tomuto číslu se dokážu dostat, kdyby exponent, kterým je umocňována rovnice byl 32, nikoliv 33. Chtěl bych se tedy ještě zeptat, jak se k tomuto číslu mohu dostat?

Předem děkuji za odpověď.

ChMcL · 06. 02. 2013 20:20 — Editoval ChMcL (06. 02. 2013 21:22)

↑ X3R0Cz:

$(\sqrt{2})^{33}*[\cos (33*\frac{3}{4}\pi) +i\sin (33*\frac{3}{4}\pi)]$

$(\sqrt{2})^{33}=2^{16}\sqrt{2}$

$\varphi =\frac{3}{4}\pi *33=\frac{99}{4}\pi$ ... upravíme do intervalu $\langle0; 2\pi )$

$\frac{99}{4}\pi :2\pi =\frac{99}{8}$ .... z toho zjistíme, že $\frac{99}{4}\pi =\frac{3}{4}\pi +12*2\pi$

$2^{16}\sqrt{2}(\cos \frac{3}{4}\pi +i\sin \frac{3}{4}\pi )$

Na základě tabulkových hodnot zjistíme, že se jedná o II. kvadrant, kde cosinus je záporný a sinus kladný.

$2^{16}\sqrt{2}(-\frac{\sqrt{2}}{2} +i \frac{\sqrt{2}}{2})$

Roznásobíme závorku ...

$-\frac{2^{16}*2}{2}+i\frac{2^{16}*2}{2}$

Výsledek je $-2^{16}+i*2^{16}$

OK? :-)

Výsledek celého příkladu jen $2^{16}$ nemůže být! Kam by se ztratila imaginární část?

ChMcL · 06. 02. 2013 21:24

↑ X3R0Cz:

Tak co, chápete princip? :-) Důležitá je znalost goniometrických funkcí ... :-)

jelena · 06. 02. 2013 21:33

↑ ChMcL:

Zdravím, jen k výsledku: viz zadání 1. příspěvku:

Reálná část komplexního čísla

Jinak tento typ úloh je velmi populární na přijímačkách na VŠE a předpokládá se postup kolegy ↑ Hanis:. Za podrobný postup, který se dá použit všeobecně, děkuji.

K VŠE je něco v úvodním tématu + samostatné téma v Připomínkách + web kolegy Zdeňka.

ChMcL · 06. 02. 2013 21:38

↑ jelena:

Teď se stydím! Děkuji za upozornění! Přehlédla jsem se ... :-)

↑ ChMcL:

Výsledek ráelné části je $-2^{16}$ .. mínus proto, jelikož cosinus je v II. kvadrantu záporný! :-) :-)

Imaginární část je pak $2^{16}*i$ .. jen tak doplňující informace :-)

X3R0Cz · 06. 02. 2013 21:47

Omlouvám se, špatně jsem opsal zadaní, v zadání chtěli imaginární část a ne reálnou. Takže výsledek má být
$-2^{16}$ a já vám děkuji za vaši pomoc :)

Matematické Fórum

#1 06. 02. 2013 12:27

Komplexní čísla

#2 06. 02. 2013 12:34

Re: Komplexní čísla

#3 06. 02. 2013 12:59

Re: Komplexní čísla

#4 06. 02. 2013 17:26

Re: Komplexní čísla

#5 06. 02. 2013 19:44

Re: Komplexní čísla

#6 06. 02. 2013 20:20 — Editoval ChMcL (06. 02. 2013 21:22)

Re: Komplexní čísla

#7 06. 02. 2013 21:24

Re: Komplexní čísla

#8 06. 02. 2013 21:33

Re: Komplexní čísla

#9 06. 02. 2013 21:38

Re: Komplexní čísla

#10 06. 02. 2013 21:47

Re: Komplexní čísla

Zápatí