Matematické Fórum

↑ honyik: To sú tie body, v ktorých je funkcia rýdzo rastúca.

Jinak receno:
Derivace funkce v bode je smernice tecny(smernice je tangens uhlu) takze je treba si uvedomit jak vypada funkce tan. A potom jestli sestrojis tecnu v bode, ktera bude svirat s osou x uhel vetsi nez 0 az do 90 tak derivace bude kladna, jestli bude svirat 90-180 tak bude zaporna. Pekne to jde videt na fci x^2. Jestli bude tecna rovnobezna tak derivace je v tomto bode rovna 0.

↑ Creatives:
Já to vím, ale, chtěl jsem, aby to bylo vysvětleno tazateli, protože je to v tomhle příkladu velmi důležité.
Navíc sám jsi to vysvětlil špatně:  Oba zapomínáte na spojitost - tvé definci např. vyhovuje fce signum v bodě nula, i když tam nemá derivaci.

Koukám - příspěvků plno a vysvětlení téměř žádné. Takže - derivace funkce f(x) v bodě x_0 je limita



pokud tato limita existuje. K tomu, aby taková derivace existovala, musí být především funkce definována v bodě x_0. Je tedy okamžitě jasné, že v x_0 neexistuje derivace ve druhém případě (funkce nemá v x_0 funkční hodnotu).

Dále je nutné, aby funkce byla spojitá na jistém okolí bodu x_0 (s eventuální výjimkou bodu x_0). Z tohoto důvodu nemá derivaci funkce na pátém obrázku.

Dále je důležité, zda je derivace definována jako limita vlastní, anebo se připouští i limita nevlastní (což se někdy připouští). Pokud bychom připustili i nevlastní limitu jako derivaci, pak by taková derivace existovala i v prvním případě (byla by minus nekonečno). Většinou se však derivace definuje jako limita vlastní. Pak je to (geometricky) směrnice tečny ke grafu funkce. Taková derivace tedy v prvním případě neexistuje. Vlastní derivace tedy existuje jen v případech 3, 4, 6, přičemž v případě 3 je rovna nule, takže nevyhovuje zadání. V případech 4 a 6 je f'>0, takže jsou OK.   

Pokud jde o jednostranné derivace, jsou to jednostranné limity, v ostatním platí vše, co bylo řečeno výše.  První případ je má, pokud připustíme derivace nevlastní (obě jsou mínus nekonečno), anebo je nemá, je-li derivace definována pouze jako limita vlastní.  Druhý případ je nemá (chybí funkční hodnota v x_0). Pátý případ je nemá, protože není spojitý na žádném okolí. Zbylé případy je mají, ve všech jsou jednostranné derivace rovny derivaci "oboustranné", třetí případ nevyhovuje - derivace jsou rovny nule.