Matematické Fórum

mp3jj · 06. 02. 2013 14:28

Dobrý den,

dovolím si sem vložit 2 úlohy najednou, protože mi přijdou docela podobné.

Nejdřív bych se chtěl zeptat, zda platí nějaké obecné pravidlo, jak se mění velikost základny v závislosti na ramenech - to se týká toho prvního příkladu. Platí třeba, že když ty ramena se o 1/3 zmenšila, tak bude i základna o 1/3 menší?

A podobné je to i u toho druhého příkladu - jehlan. Když "posouvám podstavu" směrem nahoru a dostanu se např. do poloviny výšky, bude i strana základny poloviční?

Arabela · 06. 02. 2013 15:14

Ahoj ↑ mp3jj:,
najskôr k prvému príkladu. Označme si šírku väčšieho obdĺžnika a, výšku b, obsah väčšieho obdĺžnika S, obsah menšieho obdĺžnika S0 a obsah "medziobdĺžnikovia" ako Sm. Potrebujeme vypočítať Sm/S0.
To, čo popisuješ, naozaj platí, je to dôsledok rovnoľahlosti, resp. podobnosti.
Označme si vrcholy väčšieho obdĺžnika A, B, C, D a menšieho K, L, M, N. Prienik priamok AB a KN si označme X, kolmý priemet stredu S oboch obdĺžnikov na AB ako Y. Trojuholníky AXK a AYS sú si podobné podľa vety uu (sú pravouhlé a majú spoločný uhol pri vrchole A. A keďže AK/AS =1/3, platí aj AX/AY=1/3. Dĺžka AX je teda jednou tretinou z AY, a teda jednou šestinou z AB; Dĺžka AX= a/6.
Podobné úvahy platia aj pre druhý rozmer.
Platí teda:
S=a.b
S0=(a-a/6-a/6)(b-b/6-b/6)=...= 4ab/9
Sm=S-S0=...=5ab/9
atď.

mp3jj · 06. 02. 2013 15:47

Moc děkuju za výboné vysvětlení, zkusím s těmito znalostmi vypočítat ten druhý příklad. Kdyžtak napíšu, kdyby s tím byl problém. :)

mp3jj · 06. 02. 2013 22:42

Jo, tak mi to vyšlo správně. Ještě jednou moc děkuji.

Jenom pro ostatní - zde je výpočet 2. příkladu:

vršek:
$V=\frac{1}{3}S_{p}v=\frac{1}{3}\frac{a}{3}\frac{a}{3}\frac{v}{3}=\frac{1}{3}\frac{a^{2}v}{27}$

komolý jehlan:
Objem celého jehlanu (původního) mínus objem vršku
$V=\frac{1}{3}a^{2}v-\frac{1}{3}\frac{a^{2}v}{27}=\frac{1}{3}a^{2}v(1-\frac{1}{27})=\frac{1}{3}a^{2}v(\frac{26}{27})$

A teď do poměru
$\frac{1}{3}\frac{a^{2}v}{27}:\frac{1}{3}\frac{26a^{2}v}{27}$
- po vykrácení:
$\frac{1}{27}:\frac{26}{27} = 1 : 26$

Arabela · 07. 02. 2013 09:00

Ahoj ↑ mp3jj:,
veľmi sa teším, že druhý príklad si dal už samostatne. Ja som postupovala takisto a s tým istým výsledkom....:)

Domki · 07. 02. 2013 16:22

Chci se zeptat když jehlan rozzříznu v jedný třetině, tak i potom ty hrany toho horniho maji jednu tretinu puvodní?

mp3jj · 07. 02. 2013 16:47

↑ Domki:

Jj, platí to tak. Pokud chceš důkaz, tak to platí obdobně jako u toho prvního příkladu, který ↑ Arabela: detailně popisovala. Jde tam o podobnost trojúhelníků v obou případech :)

Domki · 07. 02. 2013 16:48

ttj dík, jo a tobe taky přeju hodně uspechu =D

mp3jj · 07. 02. 2013 16:50

↑ Domki:

to je milý, díky :D

Matematické Fórum

#1 06. 02. 2013 14:28

Poměry obsahů (objemů)

#2 06. 02. 2013 15:14

Re: Poměry obsahů (objemů)

#3 06. 02. 2013 15:47

Re: Poměry obsahů (objemů)

#4 06. 02. 2013 22:42

Re: Poměry obsahů (objemů)

#5 07. 02. 2013 09:00

Re: Poměry obsahů (objemů)

#6 07. 02. 2013 16:22

Re: Poměry obsahů (objemů)

#7 07. 02. 2013 16:47

Re: Poměry obsahů (objemů)

#8 07. 02. 2013 16:48

Re: Poměry obsahů (objemů)

#9 07. 02. 2013 16:50

Re: Poměry obsahů (objemů)

Zápatí