Matematické Fórum

wikinka · 07. 02. 2013 21:23

Zdravím,
potřebovala bych poradit s následujícím příkladem. Zaprvé nemám zdání, jak se tento typ limit jmenuje, zadruhé nemám ani nejmenší tušení, jak bych to měla počítat a i přes veškeré snahy se mi nepodařilo najít nic k takovému typu příkladů. Byla bych vděčná za každou pomoc.

$\frac{\int_{0}^{x}tg t. cos t^2 dt}{x sin2x}$

Výsledek je: 1/4

Potřebovala bych aspoň nakopnout, kde začít.

Děkuji mockrát za pomoc.

martisek · 07. 02. 2013 21:39

↑ wikinka:

To ale žádná limita není. Má-li to být limita, pak před tím zlomkem chybí lim pro x jdoucí někam.

wikinka · 07. 02. 2013 21:59

↑ martisek:
to se omlouvám, moje chyba.

Oprava:
$\lim_{x\to0 }\frac{\int_{0}^{x}tgt . cost^2dt}{x sin2x}$

martisek · 07. 02. 2013 23:13

Je tam asi ještě jedna chybička - místo $cos t^2$ má asi být $cos^2 t$ . Pak bych to viděl asi takto:

$\lim_{x\to 0 }\frac{\int_{0}^{x}tgt . cos^2 t dt}{x sin2x} = \lim_{x\to 0 }\frac{\int_{0}^{x}\frac {sint} {cost} \cdot cos^2 t dt}{x sin2x} =$

$\lim_{x\to 0 }\frac{\int_{0}^{x} sint \cdot cos t dt}{x sin2x} = \lim_{x\to 0 }\frac{\frac {1} {2} \int_{0}^{x} sin 2t dt}{x sin2x} =$

$\lim_{x\to 0 }\frac{-\frac {1} {4} [cos 2t ]_0^x} {x sin2x} = -\frac {1} {4} \lim_{x\to 0 } \frac {cos2x-1} {xsin2x}=$

$-\frac {1} {4} \lim_{x\to 0 } \frac {cos^2x -sin^2 x-sin^2x-cos^2x} {xsin2x}= \frac {1} {4} \lim_{x\to 0 } \frac {2sin^2 x} {2xsinxcosx}=$

$\frac {1} {4} \lim_{x\to 0 } \frac {sin x} {x} \cdot \lim_{x\to 0 } \frac {1} {cos x} =\frac {1} {4}$

wikinka · 07. 02. 2013 23:22

↑ martisek:
Děkuju mnohokrát. Na tohle bych nikdy nepřišla.
Těchto příkladů se mi objevilo v testu více, takže univerzální postup je: nejprve zintegrovat, dosadit meze a pak vyřešit limitu?
Ještě mám dotaz k jednomu podobnému příkladu, kde mám:
$\int_{0}^{x}t^2 e^{-t}dt$

a mám zjistit kovexnost, konkávnost. Nejprve vyřeším integrál, dosadím meze a dvakrát zderivuji? Nejsem si totiž jistá, zda to chápu správně.

Mockrát děkuji za odpověď a ochotu

martisek · 07. 02. 2013 23:29

↑ wikinka:

Ano, je to integrál jako funkce horni meze. Formálně je to určitý integrál, ale protože horní mez je proměnná, je výsledkem funkce proměnné x. Takže - normálně zintegrovat (dvakrát per partes), dosadit horní a dolní mez - vyjde funkce proměnné x. No a pak běžným způsobem zjistit, zda je to funkce konvexní, anebo konkávní. Tj. spočítat první derivaci a zjistit, zda roste, anebo klesá, popř. druhou derivaci a zjistit, zda je kladná, anebo záporná.

Brano · 08. 02. 2013 00:17

Netreba to integrovat. Ak mas nejaku funkciu $f$ a k nej primitivnu $F$ tak z definicie $F'=f$ a plati
$\int_0^xf(t)dt=F(x)-F(0)$ ked tento vyraz zderivujes, tak samozrejme dostanes $f(x)$ . Takze ak chces druhu derivaciu takehoto vyrazu (na urcenie konvexnosti a konkavnosti), tak ti staci raz zderivovat podintegralnu funkciu, cize derivujes iba raz funkciu $x^2e^{-x}$ - a pokracujes standardne.

user · 08. 02. 2013 00:30 — Editoval user (08. 02. 2013 00:47)

Zdravím,
jen doplním, k limitám: pokud je možné použít L'Hospitalovo pravidlo, tak to je více než vhodné. Platí totiž vzorec pro integrál jako funkci horní meze.
$\frac{\text{d}}{\text{d}x}\int_c^{g(x)}f(t)\text{d}t=f(g(x))\cdot g'(x)$
Jednoduše ověřitelný z Newtonovy formule.

Tato metoda je lepší, protože integrál v zadání může být buď pracný nebo dokonce analyticky neřešitelný. Pokud by bylo zadání například $f(x)=\int_0^{x}e^{-t^2}\text{d}t$ , tak by zjištění konvexnosti a konkávnosti nebylo pomocí primitivní funkce zcela vhodné.

U ↑ wikinka: tohoto příkladu by byl totální nesmysl nejdříve se s tím integrovat a pak dostat 1. derivací zadání.

EDIT:
K limitě v zadání tématu, limita vyjde 1/4 nezávisle na tom, zda-li je tam $\cos^2(t)$ nebo $\cos(t^2)$ . Takže zadání může být oběma způsoby.

wikinka · 08. 02. 2013 09:39

↑ user:
Děkuji všem mockrát za rady. Teď už mi to vychází a vím, proč to tak je.

Ještě jednou díky, moc jste mi pomohli!

martisek · 08. 02. 2013 12:42

↑ user:
No, nevím, nevím - pokud je tam dle původního zadání cos(t^2), tak mi to vychází 1/2 a ne 1/4. Proto jsem navrhl tu změnu.

user · 08. 02. 2013 13:56

Po L'Hospitalovi mi vyšla tato limita.

Řešil jsem Taylorem a i stroj mi dává za pravdu.

martisek · 08. 02. 2013 14:10

↑ user:

ok - omlouvám se, v prvním řešení jsem měl blbě opsané zadání - ve jmenovateli jen xsinx místo xsin2x :-)

martisek · 08. 02. 2013 16:29

↑ martisek:

Ještě jsem si uvědomil, že řešení s původním zadámím tady vlastně není. Tak tedy

$\lim_{x\to0 }\frac{\int_{0}^{x}tgt . cost^2dt}{x sin2x}=^{l'Hospital} \lim_{x\to0 }\frac{tgx . cosx^2}{sin2x+2xcos2x}=$

$\lim_{x\to0 }\frac{sinx . cosx^2}{cosx(sin2x+2xcos2x)}= \lim_{x\to0 }\frac{ cosx^2}{cosx}\cdot \lim_{x\to0 }\frac {sinx}{sin2x+2xcos2x}=$

$\frac {1} {\lim_{x\to0 } {\frac {sin2x+2xcos2x} {sinx}}}= \frac {1} {\lim_{x\to0 } {\frac {2sinxcosx} {sinx} +2 \lim_{x\to0 } \frac {x} {sinx} \lim_{x\to0 } cos2x}}=\frac {1} {2+2\cdot 1} =\frac {1} {4}$

Matematické Fórum

#1 07. 02. 2013 21:23

Limita integrálu

#2 07. 02. 2013 21:39

Re: Limita integrálu

#3 07. 02. 2013 21:59

Re: Limita integrálu

#4 07. 02. 2013 23:13

Re: Limita integrálu

#5 07. 02. 2013 23:22

Re: Limita integrálu

#6 07. 02. 2013 23:29

Re: Limita integrálu

#7 08. 02. 2013 00:17

Re: Limita integrálu

#8 08. 02. 2013 00:30 — Editoval user (08. 02. 2013 00:47)

Re: Limita integrálu

#9 08. 02. 2013 09:39

Re: Limita integrálu

#10 08. 02. 2013 12:42

Re: Limita integrálu

#11 08. 02. 2013 13:56

Re: Limita integrálu

#12 08. 02. 2013 14:10

Re: Limita integrálu

#13 08. 02. 2013 16:29

Re: Limita integrálu

Zápatí