Matematické Fórum

nurv · 04. 02. 2013 17:41 — Editoval nurv (04. 02. 2013 17:41)

Ahoj, učím se na zkoušku z algebry, ale zasekl jsem se na jednom příkladu, jehož řešení nenalézám ani v mých zápiscích z přednášek...Mohl by mi tu prosím napsat postup (jednotlivé kroky)?Děkuji moc...

Příklad:

ofocený příklad

nurv · 09. 02. 2013 16:10

hups, nikdo netuší jak na to?

Brano · 09. 02. 2013 16:27 — Editoval Brano (09. 02. 2013 16:34)

Mas zobrazenie $A(y)=y''-y'$ a potrebujes v nom najst obraz bazovych vektorov, teda
$A(e^{3x})=6e^{3x}$ a vyjadrenie tejto funkcie v zadanej baze je $(6,0,0)^T$ - co je prvy stlpec maticoveho vyjadrenia - podobne zvladnes dalsie stlpce. Staci takto?

V b) staci tu maticu prenasobit sprava vektorom co zodpoveda tej fukcii, co je $(3,0,1)^T$

nurv · 09. 02. 2013 17:05 — Editoval nurv (09. 02. 2013 17:14)

Brano napsal(a):
Mas zobrazenie $A(y)=y''-y'$ a potrebujes v nom najst obraz bazovych vektorov, teda
$A(e^{3x})=6e^{3x}$ a vyjadrenie tejto funkcie v zadanej baze je $(6,0,0)^T$ - co je prvy stlpec maticoveho vyjadrenia - podobne zvladnes dalsie stlpce. Staci takto?

V b) staci tu maticu prenasobit sprava vektorom co zodpoveda tej fukcii, co je $(3,0,1)^T$

Jen, na odkazu není $A(y)=y''-y'$ , ale $A(y)=y''-2y'$

A jak si dostal $6e^{3x}$ ?

A toto $(3,0,1)^T$ vemu kde?

V Algebře dost plavu, protože mám od učitele šíleně moc teorie, ale nemáme moc spočítaných příkladů a já se to z teorie nedokážu naučit - musím se učit z praktických postupů...

Díky...

martisek · 09. 02. 2013 18:52

↑ nurv:

Já to zkusím jinak: Je třeba vzít bázové funkce $f_1=e^{3x}$ , $f_2=xe^{3x}$ , $f_3=x^2e^{3x}$ a sestavit funkce $g_1=f_1^{''}-f_1^{'}$ , $g_2=f_2^{''}-f_2^{'}$ , $g_3=f_3^{''}-f_3^{'}$ . A pak najít matici A tak, aby platilo g=A.f

martisek · 09. 02. 2013 18:54

↑ martisek:
Ještě drobnost: u těch rozdílů g_1, g_2, g_3 chybí dvojka, kterou jsem v zadání zobrazení nějak přehlédl...

nurv · 09. 02. 2013 20:42 — Editoval nurv (09. 02. 2013 20:48)

Aha, takže to vyjde takto:

$f_1=9e^{3x}-2(3e^{3x})$
$f_2=(3e^{3x}(3x+2)-2(3e^{3x})$
$f_3=(3e^{3x}(9x^2+12x+2)-2(3e^{3x}(3x+2))$

Ale co teď s tím?díky...

Phate · 09. 02. 2013 20:47

najdes souradnice techdle "funkci" v puvodnim vektorovem prostoru a tyto souradnice budou radky matice A, protoze pak kdyz matici A nasobime zprava jednotkovyma vektorama puvodni baze (coz jsou f1 f2 a f3) dostaneme prave tyto radky, ktere nam daji zobrazene f1 f2 a f3 pres zobrazeni F

nurv · 09. 02. 2013 20:53

takže jestli tvořím matici dobře, tak matice bude:

3 0 0
-3 3 0
-3 9 6

Je to tak, nebo tvořím blbě...pokud blbě, jak vytvořit dobře matici? Děkuji

Brano · 09. 02. 2013 22:02

↑ nurv:
Pravda, je tam ta dvojka, asi uz trpim dislexiou alebo co. Len este kym sa dostaneme k vysledku, aky mate standard na vektory: stlpcove, alebo riadkove?

nurv · 09. 02. 2013 22:10

nejsem si jist, ale myslím, že sloupcové...

takže to bude takto? :

3 -3 -6
0 3 9
0 0 6

martisek · 09. 02. 2013 22:45

↑ nurv:

Zkusím demonstrovat pro funkce f_1 a g_1:

$f_1=e^{3x}$ , $f_1^{'}=3e^{3x}$ , $f_1^{''}=9e^{3x}$

$g_1=f_1^{''}-f_1^{'}=9e^{3x}-3e^{3x}=6e^{3x}$

$\left( \begin{matrix}6e^{3x} \\ g_2 \\ g_3 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} e^{3x} \\ xe^{3x}\\ x^2e^{3x} \end{matrix} \right)$

odtud (první řádek krát sloupec) a_{11}=6;a_{12}=a_{13}=0.

Brano · 10. 02. 2013 01:04 — Editoval Brano (10. 02. 2013 01:06)

Trochu sa nam to tu zamotava, kvoli mojmu zle prepisanemu zadaniu. Takze takto:

$A(y)=y''-2y'$
$y_1=e^{3x},\quad y_2=xe^{3x},\quad y_3=x^2e^{3x}$
$A(y_1)=9e^{3x}-2.3e^{3x}=3e^{3x}=3y_1$
$A(y_2)=...=e^{3x}(3x+4)=4y_1+3y_2$
$A(y_3)=...=e^{3x}(3x^2+8x+2)=2y_1+8y_2+3y_3$

Cize tvoja matica musi splnat
$A\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix}$
$A\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\3\\0\end{pmatrix}$
$A\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\8\\3\end{pmatrix}$
a teda
$A=\begin{pmatrix}3&4&2\\0&3&8\\0&0&3\end{pmatrix}$
Teraz nech
$g=3y_1+y_3=\begin{pmatrix}3\\0\\1\end{pmatrix}$
dostavame
$A(g)=A\cdot\begin{pmatrix}3\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}11\\8\\3\end{pmatrix}=$
(a pokracuje skuska spravnosti)
$=e^{3x}(3x^2+8x+11)=...=g''-2g'$

nurv · 10. 02. 2013 12:03

Aha, už chápu, jen nevím, kde si vzal toto:

Teraz nech
$g=3y_1+y_3=\begin{pmatrix}3\\0\\1\end{pmatrix}$

Díky za pomoc...

Brano · 10. 02. 2013 13:00 — Editoval Brano (10. 02. 2013 13:01)

Veď to je $g$ definované v časti b tvojho zadania.

nurv · 10. 02. 2013 13:32

ahá, já myslel, že pořád děláme část a)...

nurv · 10. 02. 2013 20:12

OK, už vše chápu, ale jen pro pořádek - pokud jsem někde neudělal chybu, tak A(y2) a A(y3) mi vyšlo takto:

$A(y_2)=...=e^{3x}(-3x+4)=4y_1+3y_2$
$A(y_3)=...=-e^{3x}(3x^2+8x+2)=-2y_1-8y_2-3y_3$

je to tak?

Brano · 10. 02. 2013 22:06

Ved vysledky som ti napisal; $A(y_2)$ je dobre a $A(y_3)$ je zle - mas tam opacne znamienko. Pocital som to vo Wolphram|Alpha a tomu vcelku verim, ze sa nemyli.

Matematické Fórum

#1 04. 02. 2013 17:41 — Editoval nurv (04. 02. 2013 17:41)

Matice lin. zobrazení, obraz funkce

#2 09. 02. 2013 16:10

Re: Matice lin. zobrazení, obraz funkce

#3 09. 02. 2013 16:27 — Editoval Brano (09. 02. 2013 16:34)

Re: Matice lin. zobrazení, obraz funkce

#4 09. 02. 2013 17:05 — Editoval nurv (09. 02. 2013 17:14)

Re: Matice lin. zobrazení, obraz funkce

Brano napsal(a):

#5 09. 02. 2013 18:52

Re: Matice lin. zobrazení, obraz funkce

#6 09. 02. 2013 18:54

Re: Matice lin. zobrazení, obraz funkce

#7 09. 02. 2013 20:42 — Editoval nurv (09. 02. 2013 20:48)

Re: Matice lin. zobrazení, obraz funkce

#8 09. 02. 2013 20:47

Re: Matice lin. zobrazení, obraz funkce

#9 09. 02. 2013 20:53

Re: Matice lin. zobrazení, obraz funkce

#10 09. 02. 2013 22:02

Re: Matice lin. zobrazení, obraz funkce

#11 09. 02. 2013 22:10

Re: Matice lin. zobrazení, obraz funkce

#12 09. 02. 2013 22:45

Re: Matice lin. zobrazení, obraz funkce

#13 10. 02. 2013 01:04 — Editoval Brano (10. 02. 2013 01:06)

Re: Matice lin. zobrazení, obraz funkce

#14 10. 02. 2013 12:03

Re: Matice lin. zobrazení, obraz funkce

#15 10. 02. 2013 13:00 — Editoval Brano (10. 02. 2013 13:01)

Re: Matice lin. zobrazení, obraz funkce

#16 10. 02. 2013 13:32

Re: Matice lin. zobrazení, obraz funkce

#17 10. 02. 2013 20:12

Re: Matice lin. zobrazení, obraz funkce

#18 10. 02. 2013 22:06

Re: Matice lin. zobrazení, obraz funkce

Zápatí