Matematické Fórum

dejviddejvid

Zdravím,
mam takovýhle integrál $\int \sqrt{1+sin2x}dx$ a wolfram mi vyplivnul toto řešení, ale nechápu ten krok, kdy tam vezme substituci $s=sin(u)+1$ a pak dostanou v tom jmenovateli $\sqrt{2-s}$

Díky moc za pomoc!

((:-)) · 09. 02. 2013 19:57 — Editoval ((:-)) (09. 02. 2013 19:59)

↑ dejviddejvid:

$s=\sin u+1$ , odtiaľ $ds = \cos u du$

Potom $du = \frac{ds}{\cos u}$

Dosadíš za $du$ :

$\int \sqrt{\sin u +1}du$

$\int \sqrt{\sin u +1}\frac{ds}{\cos u}$

Kosínus dáš pod odmocninu:

$\int \sqrt{\frac{\sin u +1}{\cos^2 u}}{ds} = \int \sqrt{\frac{\sin u +1}{1-\sin^2 u}}{ds}$

a z toho už

$\int {\frac{1}{\sqrt{1-\sin u}}}du$ ... potom už len dosadíš za sinu zo vzťahu $s=\sin u+1$

Wellcosh · 09. 02. 2013 21:52

Možná by se dalo využít identity
$1+\sin 2x = 2 \sin^2 (x+ {\pi \over 4} )$

martisek · 09. 02. 2013 22:56

↑ Wellcosh:

Ale no tak pánové, nebylo by lepší třeba toto?

$\int \sqrt{1+sin2x}dx = \int \sqrt{sin^2x+2sinxcosx+cos^2x}dx=$
$\int \sqrt{(sinx+cosx)^2}dx=\int (sinx +cosx) dx$