Matematické Fórum

TerezaG · 09. 02. 2013 22:51

Zdravím :) potřebovala bych pomoct s těmito příklady:
...v prvních bych použila vzorec, nebo nějak rozšířila - ale nevím jaký a jak :D, ve druhém rozložila na součin závorek (což mi ale nevychází) a pak vyšetřila pro 1 zleva, se třetím příkladem si vůbec nevím rady a čtvrtý bych ráda rozšířila kvůli odmocninám, ale nevím jak když je tam $\sqrt{x}$ krát závorka..

Děkuji moc za rady :)

martisek · 09. 02. 2013 23:11

↑ TerezaG:

V prvním příkladu použít vzorečky pro dvojnásobný úhel a goniometrickou jedničku - ono se to nějak vymlátí. Ve druhém jde čitatel i jmenovatel napsat ve tvaru (x-1) * něco a x-1 se pokrátí. Ve třetím vykrátit výrazem 2^(x-1). Limita pak vyjde 2^4=16. Poslední příklad je po roznásobení limita typu lim (f-g), kde f i g jdou k nekonečnu. Je třeba upravit na

$\lim \frac {1} {\frac {1} {f}-\frac {1} {g}}$

což je limita typu 0/0 a použít l'Hospitalovo pravidlo

TerezaG · 09. 02. 2013 23:23

↑ martisek:
Teoreticky to chápu, až na ten poslední příklad.. ale pokud by se ti chtělo, mohl by jsi sem dát nějak přesný postup ke všem příkladům?

Díky moc :)

Bati · 09. 02. 2013 23:27

↑ martisek:
K druhé limitě: $x^2+x+1$ nemá kořen 1, jak píšeš. Čitatel se zřejmě blíží třem, jmenovatel nekonečnu.
Ke čtvrté limitě: Stačí vhodně rozšířit výraz v závorce a pak celé zkrátit $\sqrt{x}$ .

TerezaG · 09. 02. 2013 23:41

↑ Bati:
Jsem v háji :D .. pokud to pak zkrátím, tak mi vyjde $2\setminus \sqrt{x+2}+\sqrt{x}$ no a u druhé lim nevím, jak se může jmenovatel blížit nekonečnu :/

((:-)) · 09. 02. 2013 23:57 — Editoval ((:-)) (10. 02. 2013 11:52)

↑ TerezaG:

Mala by si podľa pravidiel dávať každý príklad do vlastnej témy.

$\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt x\cdot(\sqrt{x+2}-\sqrt x)(\sqrt{x+2}+\sqrt x)}{\sqrt{x+2}+\sqrt x}$ , čitateľ aj menovateľ deliť výrazom $\sqrt x$

$\lim_{x\to\infty}\frac2{\frac{\sqrt{x+2}+\sqrt x}{\sqrt x}}=\lim_{x\to\infty}\frac2{\frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt x}+\frac{\sqrt x}{\sqrt x}}$

((:-)) · 10. 02. 2013 00:00

↑ TerezaG:

V prvom príklade stačí nahradiť čitateľ výrazom $1-\cos^22x$ a potom čitateľ rozložiť podľa vzťahu $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ .

Menovateľ sa vykráti.

Bati · 10. 02. 2013 00:03

↑ TerezaG:
Pardon, myslel jsem samozřejmě, že jmenovatel se blíží nule. Nekonečnu se pak totiž blíží ten celý zlomek.

martisek · 10. 02. 2013 00:22

↑ Bati:

omlouvám se, to jsem se přehlíd. Nenapadlo mě, že to bude tak jednoduché - v tom případě téměř stačí prostě dosadut ...

martisek · 10. 02. 2013 10:31

↑ TerezaG:

OK, tak stručně:

$1) \lim_{x \to 0} \frac {sin^22x} {1-cos2x}= \lim_{x \to 0} \frac {4sin^2xcos^2x} {sin^2x+cos^2x-cos^2x+sin^2x}=\lim_{x \to 0} 4cos^2x$

$2) \lim_{x \to 1-} \frac {x^2+x+1} {x^2-2x+1}=\lim_{x \to 1-} \frac {x^2+x+1} {(x-1)^2}= ("3/0^2") =+\infty$

$3) \lim_{x \to \infty} \frac {2^{x+3}+4} {2^{x-1}+1}= \lim_{x \to \infty} \frac {2^{x+3}+4} {2^{x-1}+1} \cdot \frac {2^{1-x}} {2^{1-x}}= \lim_{x \to \infty} \frac {2^4+\frac {4} {2^{x-1}}} {1+\frac{1} {2^{x-1}}} = ...$

Univerzální postup

$\Rightarrow \lim \frac {1} {\frac {1} {f} - \frac {1} {g}}$

je v tomto případě zbytečně komplikovaný, jednodušší je riozšířit a využít vzorečku a^2-b^2:

$\lim_{x \to \infty} \sqrt{x}\left( \sqrt{x+2} - \sqrt{x} \right) =\lim_{x \to \infty} \frac {1} {\frac {1} {\sqrt{x}}} \frac {\left( \sqrt{x+2} + \sqrt{x} \right) \left( \sqrt{x+2} - \sqrt{x} \right) } {\left( \sqrt{x+2} + \sqrt{x} \right) }=$

$\lim_{x \to \infty} \frac {x+2-x} {\sqrt {\frac {x+2} {x}} +1 }= \lim_{x \to \infty} \frac {2} {\sqrt{1+ \frac {2} {x}} +1 }=...$

bonifax

↑ TerezaG:

Ahoj,
ta 3. limita by se dala řešit i takto:

$\lim \dfrac {2^{x+3}+4} {2^{x-1}+1}=\dfrac {1+\dfrac {4} {2^{x}+3}} {\dfrac {2^{x-1}} {2^{x}+3}+\dfrac {1} {2^{x+3}}}=\dfrac {1} {\dfrac {1} {16}}$

$\dfrac {4} {2^{x}+3}$ se blíží k 0

$\dfrac {1} {2^{x}+3}$ se blíží k 0

Zbyde nám v čitateli $1$ a ve jmenovateli $\dfrac {2^{x-1}} {2^{x+3}}$

((:-)) · 10. 02. 2013 11:21 — Editoval ((:-)) (10. 02. 2013 11:33)

$1) \lim_{x \to 0} \frac {sin^22x} {1-cos2x}= \lim_{x \to 0} \frac {4sin^2xcos^2x} {sin^2x+cos^2x-cos^2x+sin^2x}=\lim_{x \to 0} 4cos^2x$

Tu je chyba, je zle vykrátené ...
.............................................................................................................................................................

Dalo sa riešiť aj:

$1) \lim_{x \to 0} \frac {\sin^22x} {1-\cos2x}=\lim_{x \to 0} \frac {1-\cos^22x} {1-\cos2x}=\lim_{x \to 0} \frac {(1-\cos2x)(1+\cos2x)} {1-\cos2x}=\lim_{x \to 0}(1+\cos2x)=2$

TerezaG · 10. 02. 2013 12:22

Děkuji moc, chápu tedy vše až na ten poslední příklad s odmocninami.. vím jak rozšířit, ale prostě mi tam vadí ta $\sqrt{x}$

((:-)) · 10. 02. 2013 12:40 — Editoval ((:-)) (10. 02. 2013 12:46)

↑ TerezaG:

Niekoľkokrát to tu máš.

Napríklad:

$\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt x\cdot(\sqrt{x+2}-\sqrt x)(\sqrt{x+2}+\sqrt x)}{\sqrt{x+2}+\sqrt x}=\lim_{x\to\infty}\frac{2\sqrt x}{\sqrt{x+2}+\sqrt x}$

Tu treba (napríklad) vydeliť čitateľ aj menovateľ odmocninou z x.

$\lim_{x\to\infty}\frac{2\sqrt x}{\sqrt{x+2}+\sqrt x}=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{2\sqrt x}{\sqrt x}}{\frac{\sqrt{x+2}+\sqrt x}{\sqrt x}}=\lim_{x\to\infty}\frac{2}{\frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt x}+\frac{\sqrt x}{\sqrt x}}$

Už len upraviť menovateľ - dať podiel odmocnín pod jednu odmocninu...

$\lim_{x\to\infty}\frac{2}{\frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt x}+\frac{\sqrt x}{\sqrt x}}=\lim_{x\to\infty}\frac{2}{\sqrt{\frac{x+2}{x}}+\frac{\sqrt x}{\sqrt x}}=\cdots$

Dokončiť by si to už naozaj mohla aj sama...

martisek · 10. 02. 2013 12:56

↑ TerezaG:

Té odmocninoy je třeba se nebát a prostě s ní zacházet jako s jedním písmenkem, nebo třeba s číslem. Ve výsledku prvního příkladu má být samozřejmě dvojka. Při kopírování texovských vzorečků jsem tu předposlední čtverku zapomněl přemazat...

TerezaG · 10. 02. 2013 13:33

Tak už ok :) děkuji moc :)

Matematické Fórum

#1 09. 02. 2013 22:51

Limita funkce

#2 09. 02. 2013 23:11

Re: Limita funkce

#3 09. 02. 2013 23:23

Re: Limita funkce

#4 09. 02. 2013 23:27

Re: Limita funkce

#5 09. 02. 2013 23:41

Re: Limita funkce

#6 09. 02. 2013 23:57 — Editoval ((:-)) (10. 02. 2013 11:52)

Re: Limita funkce

#7 10. 02. 2013 00:00

Re: Limita funkce

#8 10. 02. 2013 00:03

Re: Limita funkce

#9 10. 02. 2013 00:22

Re: Limita funkce

#10 10. 02. 2013 10:31

Re: Limita funkce

#11 10. 02. 2013 10:52 — Editoval bonifax (10. 02. 2013 10:57)

Re: Limita funkce

#12 10. 02. 2013 11:21 — Editoval ((:-)) (10. 02. 2013 11:33)

Re: Limita funkce

#13 10. 02. 2013 12:22

Re: Limita funkce

#14 10. 02. 2013 12:40 — Editoval ((:-)) (10. 02. 2013 12:46)

Re: Limita funkce

#15 10. 02. 2013 12:56

Re: Limita funkce

#16 10. 02. 2013 13:33

Re: Limita funkce

Zápatí