Matematické Fórum

eda220 · 10. 02. 2013 14:04

Dobrý den, jsem zde nový, tak nevím, jestli se správně dotazuji. Mám problém s touto úlohou :

Řešte v R rovnice :

$2|x^{2}+2x^{2}-5|=x-1$

Když chci vyřešit D z kvadratické rovnice vyjde mi 24. A tady nevím jak dál postupovat, aby mě vyšlo x1 a x2. Poté si je dám jako intervaly a řeším normálně, jako kdyby tam ta kvadratická rovnice nebyla.

Děkuji

Polopat

↑ eda220:Ahoj,
kořeny získáš jako u každé kvadratické rovnice ze vzorce $x_{12}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$ . Dál by sis rozdělil $\mathbb{R}$ na intervaly a podle toho odstraňoval absolutní hodnotu.

P.S. Předpokládám, že v zápise je chyba a má bát druhý člen v abs. hodnotě na prvou.

eda220 · 10. 02. 2013 14:11 — Editoval eda220 (10. 02. 2013 14:12)

Ano, to vím, ale nevím, jak dál upravit tento vzorec co mi vyšel :

$x_{1,2}=\frac{-2\pm \sqrt{24}}{2}$

Polopat · 10. 02. 2013 14:13

↑ eda220:

24 se dá rozložit a to se potom dá částečně odmocnit. Jinak nějaká odmocnina tam v tomhle případě zůstane a nezbavíme se jí a prostě ji budeme muset pořád psát, ale je to lepší, než ťuknout do kalkulačky a zaokrouhlit.

Věděl bys, jak 24 rozložit a to pak částečně odmocnit?

eda220 · 10. 02. 2013 14:21 — Editoval eda220 (10. 02. 2013 14:23)

Odmocninu z 24 rozložím na :

$2\sqrt{6}$

Vyjde mi :

$\frac{-2\pm 2\sqrt{6}}{2}$

A tam by šly zkrátit ty 2 :

$-2\pm \sqrt{6}$

Takto ?

Polopat · 10. 02. 2013 14:24

↑ eda220:

Skoro, $-1\pm \sqrt{6}$ .

eda220 · 10. 02. 2013 14:31

Ups, jak se došlo k takovému výsledku ?

$-1\pm \sqrt{6}$

Děkuji,

Polopat · 10. 02. 2013 14:35

↑ eda220:
Chyba je až v posledním kroku. $\frac{-2\pm 2\sqrt{6}}{2}=\frac{-2}{2}\pm \frac{2\sqrt{6}}{2}=-1\pm \sqrt{6}$ .

eda220 · 10. 02. 2013 14:49

Děkuji, to jsem pochopil. Teď ovšem jak řeším na číslené ose, tak nevím jiě jestli vycháí :

Mám tedy :

$x_{1}=-1-\sqrt{6}$

a
$x_{2}=-1+\sqrt{6}$

Nejprve řeším a) $x\varepsilon (-\infty ,-1-\sqrt{6)}$

Což bude : $2(x^{2}+2x-5)=x-1$
Upravím :
$2x^{2}+3x-9=0$
Počítám $D=b^{2}-4ac$
tedy : $D=9-4(-9) = \sqrt{45}$

Vyjde mi : $x_{1,2}=\frac{-3\pm 3\sqrt{5}}{2}$

A teď jak dál ? (tedy jestli mám správně výsledek), Děkuji.

Polopat

↑ eda220:

Zapomněl jsi na $a$ . $D=b^{2}-4ac=3^2-4\cdot 2\cdot (-9)=9+72=81$ , tedy $\sqrt{D}=\sqrt{81}=9$ . Vyjdou ti dva kořeny a ty musíš zkontrolovat, jestli leží v intervalu, pro který to teď počítáme. Tady se přiznám, že jsem musel použít kalkulačku, protože odhady odmocnin mi nikdy moc nešly.

Možná bude vědět někdo jiný tady?

eda220 · 10. 02. 2013 15:15

Tak kořeny

$x_{1} = \frac{-3+9}{2*2}=1,5$

$x_{2} = \frac{-3-9}{2*2}=-3$

To tedy neleží v intervalu $(-\infty ,-1-\sqrt{6})$ , protože $-1-\sqrt{6}$ je -3,449... Tak, zkusím počítat dál, ještě ve dvou intervalech. Tohle asi mám správně ?

Polopat · 10. 02. 2013 15:23

↑ eda220:

Ano, tohle je správně. :-)

eda220 · 10. 02. 2013 15:36

Tak v druhém intervalu $\langle-1-\sqrt{6},-1+\sqrt{6})$

$2(-x^{2}-2x+5)=x-1$

$-2x^{2}-5x+11=0$

$D=-5^{2}-4(-2)*11=113$

$x_{1}=\frac{-(-5)+\sqrt{113}}{2*(-2)}$

$x_{2}=\frac{-(-5)-\sqrt{113}}{2*(-2)}$

Což mne ovšem mate, protože dole v jmenovateli by měla být 4 na ne -4...

Polopat · 10. 02. 2013 15:44

↑ eda220:

To se dá lehce spravit, $\frac{-(-5)\pm \sqrt{113}}{2\cdot (-2)}=-\frac{5\pm \sqrt{113}}{4}=\frac{-5\mp \sqrt{113}}{4}$ .

eda220 · 10. 02. 2013 15:56 — Editoval eda220 (10. 02. 2013 15:56)

Ježiš, já sem....

takže, $x_{1}=\frac{-5+\sqrt{113}}{4} = 1,407...$

a

$x_{2}=\frac{-5-\sqrt{113}}{4} = -3,907...$

Tudíž v intervalu $\langle-1-\sqrt{6},-1+\sqrt{6)}$ je jen x1, takže

$I_{1}=\frac{-5+\sqrt{113}}{4}$

Polopat · 10. 02. 2013 16:02

↑ eda220:

Ano, to je první kořen rovnice.

eda220 · 10. 02. 2013 16:07

A poslední interval $\langle-1+\sqrt{6},\infty )$

$2(x^{2}+2x-5)=x-1$

$2x^{2}+3x-19=0$

$D=9-8*-19 = 161$

$x_{1}=\frac{-9+\sqrt{161}}{4}=0,633...$

$x_{1}=\frac{-9-\sqrt{161}}{4}=-5,422...$

Takže, žádné z x nenáleží danému intervalu ?

eda220 · 10. 02. 2013 16:09

Tudíž, jestli to mám správně, tak

$K = \{\frac{-5+\sqrt{113}}{4}\}$

Polopat · 10. 02. 2013 16:14

↑ eda220:

V úpravě rovnice je chyba. Odstraňujeme totiž stejně jako v prvním intervalu, takže i kořeny by měly vyjít stejné (a není tudíž ani nutné je znova počítat).

eda220 · 10. 02. 2013 16:31

Už sem na to přišel, dvě chyby : jednak hned a začátku v úpravě a potom v dosazení do vzorce pro výpočet kořenů.
Zaráží mě tedy výsledek 1.intervalu, který je 1,5. Ale kořen rovnice je jen $\frac{-5+\sqrt{113}}{4}$

Polopat

↑ eda220:

V prvním intervalu jsme našli dva kořeny rovnice bez abs. hodnoty, ale žádný neleží v tom intervalu, takže pro první interval nemáme žádné řešení rovnice s abs. hodnotou. Pro druhý interval jsme také našli dva kořeny, ale jenom jeden je řešením, protože leží v daném intervalu. Pro třetí interval jsme našli také dva kořeny (stejné jako pro první) a řešením rovnice je jeden z nich a sice 1,5, protože leží v intervalu $\langle-1+\sqrt{6}; +\infty)$ .

eda220 · 10. 02. 2013 16:57

Takže $K=\{\frac{-5+\sqrt{113}}{4};1,5\}$

Taky mě to tak vychází, ale výsledek má být jen $\frac{-5+\sqrt{113}}{4}$

Polopat · 10. 02. 2013 17:04

↑ eda220:

Tak to je nějaký podezřelý. Moh jsem samozřejmě udělat chybu, ale i podle Wolframu vycházejí dva výsledky...

Matematické Fórum

#1 10. 02. 2013 14:04

Rovnice s neznámou v absolutní hodnotě

#2 10. 02. 2013 14:08 — Editoval Polopat (10. 02. 2013 14:11)

Re: Rovnice s neznámou v absolutní hodnotě

#3 10. 02. 2013 14:11 — Editoval eda220 (10. 02. 2013 14:12)

Re: Rovnice s neznámou v absolutní hodnotě

#4 10. 02. 2013 14:13

Re: Rovnice s neznámou v absolutní hodnotě

#5 10. 02. 2013 14:21 — Editoval eda220 (10. 02. 2013 14:23)

Re: Rovnice s neznámou v absolutní hodnotě

#6 10. 02. 2013 14:24

Re: Rovnice s neznámou v absolutní hodnotě

#7 10. 02. 2013 14:31

Re: Rovnice s neznámou v absolutní hodnotě

#8 10. 02. 2013 14:35

Re: Rovnice s neznámou v absolutní hodnotě

#9 10. 02. 2013 14:49

Re: Rovnice s neznámou v absolutní hodnotě

#10 10. 02. 2013 15:01 — Editoval Polopat (10. 02. 2013 15:11)

Re: Rovnice s neznámou v absolutní hodnotě

#11 10. 02. 2013 15:15

Re: Rovnice s neznámou v absolutní hodnotě

#12 10. 02. 2013 15:23

Re: Rovnice s neznámou v absolutní hodnotě

#13 10. 02. 2013 15:36

Re: Rovnice s neznámou v absolutní hodnotě

#14 10. 02. 2013 15:44

Re: Rovnice s neznámou v absolutní hodnotě

#15 10. 02. 2013 15:56 — Editoval eda220 (10. 02. 2013 15:56)

Re: Rovnice s neznámou v absolutní hodnotě

#16 10. 02. 2013 16:02

Re: Rovnice s neznámou v absolutní hodnotě

#17 10. 02. 2013 16:07

Re: Rovnice s neznámou v absolutní hodnotě

#18 10. 02. 2013 16:09

Re: Rovnice s neznámou v absolutní hodnotě

#19 10. 02. 2013 16:14

Re: Rovnice s neznámou v absolutní hodnotě

#20 10. 02. 2013 16:31

Re: Rovnice s neznámou v absolutní hodnotě

#21 10. 02. 2013 16:41 — Editoval Polopat (10. 02. 2013 17:01)

Re: Rovnice s neznámou v absolutní hodnotě

#22 10. 02. 2013 16:57

Re: Rovnice s neznámou v absolutní hodnotě

#23 10. 02. 2013 17:04

Re: Rovnice s neznámou v absolutní hodnotě

Zápatí