Matematické Fórum

Boncee · 10. 02. 2013 14:49

muze me nekdo poradit s $\lim_{x\to-1^{+}}(\frac{\arccos(x)}{\pi})^\frac{1}{\sqrt{x+1}}$
mel by stacit prvni krok nebo jak se zbavit toho arccos

Brano · 10. 02. 2013 15:01

Kedze $arccos(-1)=\pi$ tak je to limita typu $1^\infty$ , cize vysledok je podla vzorca $e^{cosi}$
$\lim_{x\to-1^{+}}\left(\frac{\arccos(x)}{\pi}\right)^\frac{1}{\sqrt{x+1}}=\lim_{x\to-1^{+}}\left(1+\frac{\arccos(x)}{\pi}-1\right)^{\frac{\frac{\arccos(x)}{\pi}-1}{\frac{\arccos(x)}{\pi}-1}\frac{1}{\sqrt{x+1}}}=\exp\left(\lim_{x\to-1^{+}}\frac{\frac{\arccos(x)}{\pi}-1}{\sqrt{x+1}}\right)$
a zvysok mozes dopocitat napr. L'Hopitalom.

Boncee · 10. 02. 2013 15:38

↑ Brano: asi jsem nekdy prosvihl celkem dulezity vzorec, muzes me o nem poslat nejakou stranku ?

Brano · 10. 02. 2013 15:58

Urcite ho poznas, mozno som ho len zle opisal - ten exponent nie je $\cos i$ ale $\text{čosi}$ :-)
Vzorec je
$\lim_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e$
resp.
Ak $\lim_{x\to x_0}f(x)=0$ potom
$\lim_{x\to x_0}(1+f(x))^{\frac{1}{f(x)}g(x)}=\exp\left(\lim_{x\to x_0}g(x)\right)$
cize poznas?