Matematické Fórum

Optix · 11. 02. 2013 09:26

Dobre rano, nemohl by mi prosím někdo poradit jak na tuto limitu??
$\lim_{x\to 0} \frac{ln(1+xe^x)sin(2x^3)}{ln(cos(x^2))}$

zkousel jsem nekolikrat l'Hospitalovat, ruzne odhady jako $sin(x)\sim x$ u nuly,rozdelit si limity...a dalsi v mem podani zoufalosti.
Vubec nevim od ceho zacit a jak se "odpichnout" :((
Predem dekuji za rady.

Rumburak

↑ Optix:

Ahoj.

Vztah $\sin t \sim t$ při $t \to 0$ se zde patrně uplatní, podobně i vztah $\ln (1 + t) \sim t$ .

Tím vypadnou ze hry ten sinus a oba logaritmy, další se pak uvidí.

PS.

Následující příspěvek kolegy ↑ Jenda358:

mně se tu limitu podařilo vyřešit několika L'Hospitaly a mnoha následnými úpravami.

naznačuje, že l'Hospitalisace zde nebude postupem nijak výhodným.

Úpravami, krteré jsem navrhl, dostaneme

$\lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+xe^x)\sin(2x^3)}{\ln(\cos(x^2))} = \lim_{x\to 0} \frac{xe^x \cdot 2x^3}{\cos(x^2) - 1}= \lim_{x\to 0} \frac{2x^4}{\cos(x^2) - 1}= \lim_{t\to 0} \frac{2t^2}{\cos t - 1}$ ,

pokud existuje limita vpravo.

Dále se nabízí použít známý goniometrický vztah

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

a zbytek už bude jistě zřejmý.

Strašidelně vyhlížející limity bývají někdy překvapivě snadné, je-li jejich výpočet chycen za správný konec.

Jenda358

Dobré ráno,
mně se tu limitu podařilo vyřešit několika L'Hospitaly a mnoha následnými úpravami. Po prvním L'Hospitalovi je dobré roztrhnou výsledný výraz na dva zlomky a řešit zvlášť dvě limity. Dále je dobré využívat aritmetiky limit (konkrétně pro součin limit). Mám na mysli např. že $\lim_{x\to0} \frac{\cos (x^{2})\sin x}{x}$ můžete napsat jako $[\lim_{x\to0}\cos (x^{2})]\cdot [\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}]$ .
Snad vám to pomůže. Pokud ne, mohu to rozepsat podrobněji.
EDIT: nemusel jsem používat odhady pro sinus ani logaritmus

Optix · 11. 02. 2013 10:37

tak v tom případě jsem musel někde u toho l'Hospitala chybovat :((... jen se chci zeptat u toho odhadu
$ln(x+1)\sim x$ ...je to tak že když mám přirozený logaritmus u nuly tak "odečtu jedničku od vnitřku"? je to korektní odhad??

Rumburak

↑ Optix:

Podstatným způsobem jsem doplnil svůj předchozí příspěvek ↑ Rumburak: .

$ln(x+1)\sim x$ ...je to tak že když mám přirozený logaritmus u nuly tak "odečtu jedničku od vnitřku"? je to korektní odhad??

ano, je to tak.

Optix · 11. 02. 2013 10:57

Bohužel limita někdy vystraší tak že se toho nedá zbavit :DD
Děkuju moc!! :)

Jenda358 · 11. 02. 2013 11:00

↑ Rumburak:
Nepochybuji, že váš postup je rychlejší, ale zajímalo by mě, zda je použití vámi uvedených odhadů skutečně korektní. Nemělo by se to spíš rozvinou do Taylora? Já se v rozvíjení do Taylorovy řadu zatím moc nevyznám (ještě studuju gymnázium), ale myslel jsem si, že pro nahrazení např. funkce sinus v okolí nuly polynomem je vztah $\sin t \sim t$ nedostatečný.

Rumburak

↑ Jenda358:

Dobrý dotaz, rád vysvětlím.

Jde o to , že např. $\lim_{t \to 0}\frac {\sin t}{t} = 1$ , což se dá snadno ověřit l'H. pravidlem nebo i přes T. řadu:

$\frac {\sin t}{t}= \frac {1}{t} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k+1)\,!}\,t^{2k+1} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k+1)\,!}\,t^{2k} = \\=\frac{(-1)^0}{(2\cdot 0+1)\,!}\,t^{2\cdot 0} + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k+1)\,!}\,t^{2k} = \\=1 + t^2 \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k+1)\,!}\,t^{2(k-1)}$ .

Pro logaritmus platí $\ln (1 + t) \sim t$ , protože např.

$\lim_{t \to 0}\frac{\ln (1+t)}{t} = \lim_{t \to 0}\frac{\ln (1+t) - 0}{t} = \\= \lim_{t \to 0}\frac{\ln (1+t) - \ln 1}{t} =\\= (\ln x)'_{x =1} =$\frac{1}{x}$_{x=1} = 1$ .

Je-li obecně $g(x) \sim h(x)$ pro $x \to a$ , míněno tím $\lim_{x \to a} \frac {g(x)}{h(x)}= 1$ , a existuje-li $\lim_{x \to a} f(x)h(x)$ ,

potom podle věty o aritmetice limit máme

$\lim_{x \to a} f(x)g(x) = \lim_{x \to a} f(x)h(x)\cdot \frac {g(x)}{h(x)}= \lim_{x \to a} f(x)h(x) \cdot \lim_{x \to a}\frac {g(x)}{h(x)} = \lim_{x \to a} f(x)h(x)$ .

Ale jde i o to, jak jemnou úlohu řešíme. Vztah $\ln (1 + t) \sim t$ stačí pro aproximaci logaritmické křivky v okolí bodu [1 , 0]
přímkou, ale už by nestačil pro aproximaci kuželosečkou atd.

Jenda358 · 11. 02. 2013 12:30

↑ Rumburak:
Děkuji, už je mi to jasné.

Jenda358 · 11. 02. 2013 12:42

↑ Rumburak:
Ještě jedna věc.
V této limitě tedy nešlo o nic jiného než násobení limitovaného výrazu vhodnými "jedničkami" typu $\frac{2x^{3}}{2x^{3}}$ za účelem použití známých limit. Je to tak?
Já jsem si původně myslel, že použitím vztahu $\sin t \sim t$ v okolí nuly se míní nahrazení každého sinu lineární funkcí, a to mi právě přišlo divné. Např. u limity $\lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x^{5}}$ by takové nahrazení vedlo ke špatnému výsledku. Teď je mi tady jasné, že to bylo myšleno jinak a mnohem opatrněji.

Rumburak

↑ Jenda358:

V této limitě tedy nešlo o nic jiného než násobení limitovaného výrazu vhodnými "jedničkami" typu $\frac{2x^{3}}{2x^{3}}$ za účelem použití známých limit. Je to tak?

Ano, je to tak.

Řada matematických symbolů, například i relační symbol $\sim$ , se používá v různých významech.
V každé takové situaci je nutno uvědomit si, co právě znamenají.
Holt matematika je mnohem bohatší než její symbolika.

Matematické Fórum

#1 11. 02. 2013 09:26

Limita Funkce

#2 11. 02. 2013 10:02 — Editoval Rumburak (11. 02. 2013 10:50)

Re: Limita Funkce

#3 11. 02. 2013 10:10 — Editoval Jenda358 (11. 02. 2013 10:12)

Re: Limita Funkce

#4 11. 02. 2013 10:37

Re: Limita Funkce

#5 11. 02. 2013 10:47 — Editoval Rumburak (11. 02. 2013 10:49)

Re: Limita Funkce

#6 11. 02. 2013 10:57

Re: Limita Funkce

#7 11. 02. 2013 11:00

Re: Limita Funkce

#8 11. 02. 2013 11:50 — Editoval Rumburak (11. 02. 2013 11:54)

Re: Limita Funkce

#9 11. 02. 2013 12:30

Re: Limita Funkce

#10 11. 02. 2013 12:42

Re: Limita Funkce

#11 11. 02. 2013 15:42 — Editoval Rumburak (11. 02. 2013 16:12)

Re: Limita Funkce

Zápatí