Matematické Fórum

kamca.koci · 11. 02. 2013 17:08

Zdravím,opět mám tady AP. Mám vypočítat $a_{1}$ a $d$ v AP, platí-li: $a_{1}+a_{2}+a_{3}=-6$
$a_{1^{2}}+a_{2^{2}}+a_{3^{2}}=20$
(V tý druhý rovnici to je vždy jako a1 nadruhou).
Napsala jsem si to jako soustavu: $a_{1}+a_{1}+d+a_{1}+2d=-6$
a ted ten druhý řádek nevím,jestli to mám napsat jako $a_{1^{2}}+(a_{1}+d)^{2}+(a_{1}+2d)^{2}=20$
Postupuju aspoň trochu správně?

((:-)) · 11. 02. 2013 17:17 — Editoval ((:-)) (11. 02. 2013 17:45)

↑ kamca.koci:

V tomto príklade sa dá s výhodou využiť, že súčet 3 po sebe idúcich členov AP možno zapísať ako $(a_2-d )+ a_2 + (a_2+d)$ .

Potom platí podľa zadania, že $a_2-d + a_2 + a_2+d = -6$ a z toho $\color{red}a_2 = -2$

Ďalej po dosadení

$a_1+a_3=-4$ a tiež $a_1^2 + a_3^2 = 16$

Keď umocním prvú rovnicu na druhú, dostanem

$(a_1+a_3)^2=16$ , teda $a_1^2 + 2a_1a_3+a_3^2=16$

Pretože platí druhá rovnica, tak po dosadení čísla 16 za súčet druhých mocnín dostaneme, že $a_1a_3=0$ .

Ak $a_1 = 0$ , tak $a_3=-4$ a $a_2=-2$

Tieto čísla sú už riešením úlohy, o čom sa dá presvedčiť skúškou.

Aby súčin bol 0, má byť 0 hociktorý z činiteľov, teda aj a3 ...

kamca.koci · 11. 02. 2013 17:20

↑ ((:-)): Teď nějak nechápu,jak to mám teda jako soustavu zapsat a jak jsi přišla na to -d .

((:-)) · 11. 02. 2013 17:30

↑ kamca.koci:

Tri po sebe idúce členy AP sú napríklad (vymyslím si) 5,9,13

Tieto členy môžem zapísať ako 5, 5+4, 9+4 ... prvý člen je 5, diferencia je 4.

Ale tie isté členy môžem zapísať aj takto:

9-4, 9, 9+4

A takýto zápis som využila pri riešení danej úlohy, lebo keď sa zrátajú takto zapísané členy, diferencia sa zruší a my získame trojnásobnú hodnotu stredného člena (v riešení danej úlohy člena a2).

kamca.koci · 11. 02. 2013 17:32

↑ ((:-)): takže v závěru bude že $a_{1}$ = 0 a $d$ =-2 ?

((:-)) · 11. 02. 2013 17:35 — Editoval ((:-)) (11. 02. 2013 17:36)

↑ kamca.koci:

Táto úloha má dve riešenia:

$a_1=0, d = -2$ alebo $a_1=-4, d=2$

Je to tak preto, že ak $a_1a_3=0$ , tak 0 môže byť a1 alebo aj a3.

kamca.koci · 11. 02. 2013 17:36

↑ ((:-)): fajn..díky ti :)

((:-)) · 11. 02. 2013 17:37

↑ kamca.koci:

:-)

Veľa šťastia ...

nejsem_tonda · 11. 02. 2013 23:38

↑ kamca.koci:
Postup, ktery jsi navrhla je taky zcela spravny a doresit soustavu dvou rovnic o dvou neznamych (kterou jsi napsala v prvnim prispevku) neni problem.

Reseni od Dany vyuziva urcitou symetrii (kdyz pise a2-d, a2, a2+d), cimz se (jen) zjednodusi pocitani. Klidne jsi byvala mohla dokoncit svuj postup, ktery jsi sama vymyslela.

((:-)) · 12. 02. 2013 17:02 — Editoval ((:-)) (12. 02. 2013 17:02)

↑ nejsem_tonda:

Súhlasím s Tebou.

Autorke zadania som plne neodpovedala (... je to aspoň trochu dobre?) a nepovzbudila som ju do riešenia jej sústavy - zamerala som sa len na výpočtovo jednoduchší postup, aj keď ona by svojím postupom tiež prišla k výsledku.

Mohla som svoju odpoveď viac okomentovať ...

Matematické Fórum

#1 11. 02. 2013 17:08

aritmetická posloupnost

#2 11. 02. 2013 17:17 — Editoval ((:-)) (11. 02. 2013 17:45)

Re: aritmetická posloupnost

#3 11. 02. 2013 17:20

Re: aritmetická posloupnost

#4 11. 02. 2013 17:30

Re: aritmetická posloupnost

#5 11. 02. 2013 17:32

Re: aritmetická posloupnost

#6 11. 02. 2013 17:35 — Editoval ((:-)) (11. 02. 2013 17:36)

Re: aritmetická posloupnost

#7 11. 02. 2013 17:36

Re: aritmetická posloupnost

#8 11. 02. 2013 17:37

Re: aritmetická posloupnost

#9 11. 02. 2013 23:38

Re: aritmetická posloupnost

#10 12. 02. 2013 17:02 — Editoval ((:-)) (12. 02. 2013 17:02)

Re: aritmetická posloupnost

Zápatí