Matematické Fórum

yenicek.cz · 10. 02. 2013 21:46

Ahoj, potřeboval bych pomoc s jedním DÚ. Máme pomocí komplexních čísel provést důkaz vzorců sin3x, cos3x, sin4x, cos4x. Kromě rozložení sin(x+y) mně nic moc nenapadlo.. Děkuji za pomoc. :)

Arabela · 10. 02. 2013 22:07

Ahoj ↑ yenicek.cz:, poznáš Moivrovu vetu?
$(\cos \alpha +i\sin \alpha )^{n}= \cos n\alpha +i\sin n\alpha$
Ak ju aplikuješ pre n=3, resp. n=4, a použiješ aj "binomickú vetu" na umocnenie tej komplexnej jednotky zapísanej v goniometrickom tvare (vzorce $(a+b)^{3}$ , resp. $(a+b)^{4}$ ), dostaneš porovnaním reálnych a imaginárnych zložiek rovnajúcich sa komplexných čísel všetky vzorce, o ktoré Ti ide...

yenicek.cz · 11. 02. 2013 20:49

Díky za radu, dává to smysl. Bohužel jsem se zasekl v úpravě. Zkoušel jsem i opačný postup, ale nejde mi prostě vyjádřit reálná a imaginární část tak, aby to sedělo na ty vzorce..

Arabela · 11. 02. 2013 21:27

↑ yenicek.cz:
Podľa Moivrovej vety:
$(\cos \alpha +i\sin \alpha )^{3}= \cos 3\alpha +i\sin 3\alpha$
Podľa binomickej vety:
$(\cos \alpha +i\sin \alpha )^{3}= \cos ^{3}\alpha +3(\cos^{2} \alpha)i\sin \alpha +$
$+3\cos \alpha (i\sin \alpha )^{2}+(i\sin \alpha )^{3}$ No a upraviť, porovnať...
Využiť, že $i^{2}=-1$ ,
$i^{3}=-i$

Matematické Fórum

#1 10. 02. 2013 21:46

Důkaz gon. vzorců pomocí komplexních čísel

#2 10. 02. 2013 22:07

Re: Důkaz gon. vzorců pomocí komplexních čísel

#3 11. 02. 2013 20:49

Re: Důkaz gon. vzorců pomocí komplexních čísel

#4 11. 02. 2013 21:27

Re: Důkaz gon. vzorců pomocí komplexních čísel

Zápatí