Matematické Fórum

aviatik · 11. 02. 2013 21:11

Dobry vecer, riesim gonio rovnice a nejde mi do hlavy jedna vec. Vzdy ked vyriesim nejaku rovnicu a porovnam si ju s vysledkom tak vo vysledku je bud len jeden koren alebo koren uplne iny. To by znamenalo ze rovnica je zle. Ale ked si dosadim vysledok do kalkulacky a do zadania rovnice tak vsetko sedi ako ma.
Ved napriklad:
$2cos^{2}x+sin^2x=\frac{3}{2}$
$2(1-sin^2x)+sin^2x=\frac{3}{2}$
.
.
.
$sin^2x=\frac{1}{2}$
$sinx=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$sinx=-\frac{\sqrt{2}}{2}$
cize riesenie sa nam rozvetvuje. postupnymi upravami som dosiel na to ze existuju 4 korene a to
$x_{1}=\frac{\pi }{4}+k2\pi$
$x_{2}=\frac{3 }{4}\pi+k2\pi$
$x_{3}=\frac{5 }{4}\pi+k2\pi$
$x_{4}=\frac{7}{4}\pi+k2\pi$
avsak vo vysledku je len jeden koren uvedeny a to
$\frac{\pi }{4}+\frac{1}{2}k\pi$
kde je chyba?
dakujem

teolog · 11. 02. 2013 21:20

↑ aviatik:
Zdravím,
oni ty čtyři kořeny sloučili do jednoho. Mrkněte na periody a nakreslete si to do jednotkové kružnice.

aviatik · 12. 02. 2013 19:35

skusil som vsetky korene dat do "zakladneho tvaru" resp prveho kvadrantu a vyslo mi ze je to pi/4
ale ako dostat aj periodu do tvaru k.pi/2 ?? nie som si isty ci rozumiem presne tie upravy ktore sa tam vykonali.....

Hanis · 12. 02. 2013 19:38

Nanes ty kořeny na jednotkovou kružnici a uvidíš

((:-)) · 12. 02. 2013 20:00

↑ aviatik:

Ahoj.

Do tej "ich" rovnice dosaď postupne za k čísla 0, 1, 2, 3 a dostaneš tie "svoje" korene.

aviatik · 16. 02. 2013 16:28

uz som pochopil dakujem vam :-)
riesim rovnice dalej a obcas ma prekvapi ze vo vysledku je iny vysledok ale koresponduje aj s mojim len ten moj je uz posunuty o jednu periodu, lebo tak mi vyjde.
napriklad pri priklade
$\text{tg}^2x+tgx=0$
vysli mi dva korene, prvy je $k\pi$ a druhy mi vysiel $\frac{3}{4}\pi +k\pi$
vo vysledku je $k\pi$ ale druhy je $-\frac{\pi }{4}+k\pi$ V podstate je to to iste len ten ich vysledok je posunuty o jednu periodu dozadu... nemam si s tym lamat hlavu alebo ako mam docielit aby mi tie vysledky korespondovali s ich vysledkami? teda preco im to vyslo ako minus pí štvrtín ? mne vyslo ze $tgx=-1$ a nulovy uhol tym padom $x_{0}=\frac{\pi }{4}$
Tangens je zaporny v druhom kvadrante cize som pouzil na prepocet vzorec $x=\pi -x_{0}$ a tak mi vyslo tých $\frac{3}{4}\pi +k\pi$
dakujem :-)