Matematické Fórum

undergraduate

Ahoj,

chcel by som sa opýtať na jednu vec, ktorý sa týka počítania limity postupnosti. Majme túto limitu postupnosti:

$\lim_{n\to\infty} \frac{2n}{\sqrt{n^{2}+2n}+n}$

Teraz čiateľa aj menovateľa vynásobím výrazom $\frac{1}{n}$ .

Tým dostanem toto: $\lim_{n\to\infty} \frac{2}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}+1}$

Výsledok je $1$ , tomu rozumiem.

Mohol by mi niekto vysvetliť ako, resp. prečo sme dostali po výnasobení menovateľa tento výraz: $\lim_{n\to\infty} \frac{2}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}+1}$ ?

Chcel by som to pochopiť, nie sa len mechanicky naučiť postup.

Vopred ďakujem veľmi pekne za akúkoľvek radu :)

Wellcosh · 13. 02. 2013 16:43

Čitatel i jmenovatel vydělíš n. Pod odmocninou tedy dělíš $n^2$ .
Původní výraz je tvaru "nekonečno děleno nekonečno". Po vydělení n dostaneme výraz, jehož limitu dokážeme spočítat prostým dosazením $n = \infty$ , a tedy ${2 \over \infty} = 0$ .

undergraduate · 13. 02. 2013 16:48

↑ Wellcosh:

Ďakujem za príspevok. Chcem sa opýtať na toto:

Pod odmocninou tedy dělíš $n^2$ .

Prečo to tak je? Prečo pod tou odmocninou delím $n^{2}$ a nie $\frac{1}{n}$ ?

Rumburak · 13. 02. 2013 16:52

Ahoj.

Je to celkem jednoduché. Základem je úprava

$\sqrt{n^{2}+2n}+n = \sqrt{n^{2}$1+\frac{2}{n}$}+n = \sqrt{n^{2}}\cdot \sqrt{1+\frac{2}{n}}+n = \\=n\cdot \sqrt{1+\frac{2}{n}}+n = n $\sqrt{1+\frac{2}{n}}+1$$ .

Při výpočtu $\sqrt{n^{2}} = n$ jsme využili, že $n \ge 0$ , v obecném případě je $\sqrt{n^{2}} = |n|$ .

undergraduate · 13. 02. 2013 16:55

↑ Rumburak:

Ďakujem veľmi pekne za ochotu! Tú úpravu som chcel vidieť, lebo ja som sa o niečo pokúšal, ale potom som zistil, že to nie je správna cesta. Ešte raz ďakujem :)

Matematické Fórum

#1 13. 02. 2013 16:36 — Editoval undergraduate (13. 02. 2013 16:36)

Výpočet limity postupnosti

#2 13. 02. 2013 16:43

Re: Výpočet limity postupnosti

#3 13. 02. 2013 16:48

Re: Výpočet limity postupnosti

#4 13. 02. 2013 16:52

Re: Výpočet limity postupnosti

#5 13. 02. 2013 16:55

Re: Výpočet limity postupnosti

Zápatí