Matematické Fórum

check_drummer · 14. 02. 2013 23:45

Ahoj,
mějme v rovině (spojitou) uzavřenou jednoduchou křivku C. (Tzn. "končí tam kde začíná", nikde sama sebe neprotíná a je spojitá.) Označme její "vnitřek" (množinu, kterou "ohraničuje") jako M. (Na základě Jordanovy věty M vždy existuje a je jednoznačně určena.) M tedy neobsahuje body křivky C.
Otázka: Je M otevřená? Odpověď, která nás hned napadne je že ano.

Napadlo mě - co kdyby ale C měla takový tvar, že by se jednalo o jakousi hvězdici (kolem bodu P:=[0,0]) s nekonečným počtem špiček a "výkrojů" a každý výkroj by se stále více blížil k bodu P, přestože by ho nikdy nedosáhl. (Tloušťka těchto špiček by se samozřejmě musela také zmenšovat, aby mohlo být špiček nekonečně mnoho.)
1) Potom by ale M nemohla být otevřená, protože nenajdeme okolí bodu P, které by bylo celé částí M.
2) A nebo by potom taková C již nemohla splňovat výše uvedené předpoklady?
3) A nebo by i bod P ležel na hranici M, přestože by neležel na C?
4) Platí tedy, že M definovaná v prvním odstavci je vždy otevřená?

Děkuji za názory, pravděpodobně bude řešení jednoduché.

Pavel Brožek · 15. 02. 2013 00:17

Ahoj,

křivka je spojité zobrazení $\varphi:[a,b]\to\mathbb{R}^2$ . Pokud bude existovat bod (BÚNO počátek (0,0)), kterému se křivka libovolně přiblíží pak zřejmě existuje posloupnost $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ , kde $x_n\in[a,b]$ a $\varphi(x_n)\to(0,0)$ pro $n\to\infty$ . Posoupnost $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ je omezená, proto podle Bolzano-Weierstrassovy věty můžeme vybrat konvergentní podposloupnost $\{y_n\}_{n=1}^{\infty}$ . Máme tedy $y_n\to y\in[a,b]$ a $\varphi(y_n)\to(0,0)$ pro $n\to\infty$ . Zobrazení $\varphi$ je spojité, podle Heineho věty tedy $\varphi(y)=(0,0)$ .

Nemůže se tedy stát, že by taková křivka počátku nikdy nedosáhla.

Matematické Fórum

#1 14. 02. 2013 23:45

Otevřená množina

#2 15. 02. 2013 00:17

Re: Otevřená množina

Zápatí