Matematické Fórum

grygi · 14. 02. 2013 19:51

Zdravim, omlouvam se, ze vas otravuji s timto prikladem, ale nejak mi s nim nejde hnout.., vim, ze je tu hodne chytrych lidi a doufam ze se mi nebudete moc smat, ze nevim jak s nim hnout... ;-) ;-)

Tenká tyč $\textit{a}$ svírající s jinou tyčí $\textit{b}$ velmi malý úhel φ se pohybuje velkou rychlostí
v < c ve směru kolmém k tyči. Určete rychlost u , kterou se podél tyče b pohybuje
průsečík P obou přímek a i b. Může se bod P pohybovat po přímce b nadsvětelnou
rychlostí ?

KennyMcCormick

Může se bod P pohybovat po přímce b nadsvětelnou rychlostí ?

Ano, protože rychlost světla je (lokální) omezení rychlosti hmoty/informace. Pohyb průsečíku není nic skutečného, nic fyzikálního se tam nadsvětelně nepohybuje, tudíž to je povoleno.

Doplňující otázka: To relativistické skládání rychlostí znamená vypočíst rychlost průsečíku v inerciální soustavě spojené s tyčí $a$ ? (Protože kdyby se to počítalo v soustavě spojené s nehybnou tyčí $b$ , tak se to relativisticky neskládá.)

grygi · 15. 02. 2013 08:24

zdravim a dekuji mockrat za reakci :-) a odpoved na tu doplnujici otazku je ano vypocitat ji v inercialni soustave :-) :-) coz je pro me zatim trosku slozite....

KennyMcCormick

Nemáš zač :-).

odpoved na tu doplnujici otazku je ano vypocitat ji v inercialni soustave

Obě ty soustavy jsou inerciální. Inerciální soustava: http://cs.wikipedia.org/wiki/Inerci%C3% … 1_soustava

V inerciální soustavě spojené s tyčí $b$ se pohybuje průsečík rychlostí, pro kterou platí:
$\sin\varphi=\frac{v}u$
Tj. v inerciální soustavě tyče $b$ je rychlost průsečíku
$u = \frac{v}{\sin\varphi}$

Rychlost průsečíku v inerciální soustavě tyče $a$ spočítáš takhle:
(EDIT: Teď mě napadlo, že jsem při výpočtu rychlosti průsečíku v inerciální soustavě tyče $a$ vlastně nepoužil přímo ten vzorec pro relativistické skládání rychlostí. Byla to nutná podmínka? Jestli ano, řekni, a já ten výpočet udělám s použitím toho vzorce. Ale výsledek je tentýž.)
Představ si v obrázku systém souřadnic s osami x a y, počátek je v bodě P a osa x je tyč $a$ . Postavíš se do počátku a podíváš se ve směru osy y (kladným směrem). Vidíš, jak se proti tobě pohybuje tyč $b$ rychlostí $v$ . Vidíš tyč $b$ pootočenou o úhel $\alpha$ .
$\alpha \neq \varphi$
Protože pohybující se objekty jsou relativisticky zkrácené ve směru svého pohybu, bude tyč $b$ zešikma "zmačknutá", což způsobí, že ten úhel se zmenší. Rozměr tyče $b$ ve směru pohybu bude zkrácen $\gamma$ -krát, kde $\gamma$ je:
$\gamma = \frac1{\sqrt{1-\left(\frac{v}c\right)^2}}$
To znamená, že tangens úhlu, který tyč $b$ svírá s tyčí $a$ , se také zkrátí $\gamma$ krát:
$\tan\alpha = \frac{\tan\varphi}\gamma = \tan(\varphi)\sqrt{1-\left(\frac{v}c\right)^2}$
Odtud úhel $\alpha$ :
$\alpha = \arctan\left[\tan(\varphi)\sqrt{1-\left(\frac{v}c\right)^2}\right]$
Teď už pro rychlost průsečíku $u_2$ platí, jako v první čísti příkladu:
$\sin\alpha = \frac{v}{u_2}$
tj.
$u_2 = \frac{v}{\sin\alpha}$
Dosadíš z rovnice pro úhel $\alpha$ a dostaneš:
$u_2 = \frac{v}{\sin\left(\arctan\left[\tan(\varphi)\sqrt{1-\left(\frac{v}c\right)^2}\right]\right)}$
Tohle se dá ještě zjednodušit na výraz:
$u_2 = \frac{v}{\frac{\tan(\varphi)\sqrt{1-\left(\frac{v}c\right)^2}}{\sqrt{\left[\tan(\varphi)\sqrt{1-\left(\frac{v}c\right)^2}\right]^2+1}}}$
Tento zlomek zjednodušíš na:
$u_2 = \frac{v}{\frac{\tan(\varphi)\sqrt{1-\left(\frac{v}c\right)^2}}{\sqrt{\tan^2(\varphi)\left[1-\left(\frac{v}c\right)^2\right]+1}}}$
Jmenovatele z jmenovatele hodíš do čitatele a oba je dáš pod jednu odmocninu:
$u_2 = v\sqrt\frac{{\tan^2(\varphi)\left[1-\left(\frac{v}c\right)^2\right]+1}}{\tan^2(\varphi)\left[1-\left(\frac{v}c\right)^2\right]}$
Teď rozděl výraz pod odmocninou na dva zlomky a vykrať:
$u_2 = v\sqrt{\frac1{\tan^2(\varphi)\left[1-\left(\frac{v}c\right)^2\right]}}$
A konečně:
$u_2 = \frac{v}{\tan\varphi}\frac1{\sqrt{1-\left(\frac{v}c\right)^2}}$

Kdyby ti cokoliv nebylo jasné, zeptej se.

grygi · 16. 02. 2013 09:06

koukala jsem na to a celkem to chapu.. :-), dekuji..
a jak by podle tebe teda byl ten vzorec pro relativistické skládání rychlostí?? jak to myslis?? :-)

KennyMcCormick

Zavedu souřadný systém s počátkem v bodě P a osou x, která svírá s tyčí $b$ úhel $\varphi$ . V takovém souřadném systému je vektor rychlosti tyče $a$ :
$\mathbf{v_1} = [0,v]$
a vektor rychlosti průsečíku:
$\mathbf{v_2} = \left[-\frac{v}{\tan\varphi},v\right]$

Použiju druhý a třetí vzorec na stránce k výpočtu rychlosti $\mathbf{v_2'}$ , což bude rychlost průsečíku v inerciální soustavě tyče $a$ : http://cs.wikipedia.org/wiki/Skl%C3%A1d … lost%C3%AD

Absolutní hodnota vektoru, která se v těch vzorcích objevuje, je označení pro normu (=délku) vektoru: http://cs.wikipedia.org/wiki/Norma_vekt … 3.A1_norma

Jasné?

EDIT: Velikost rychlosti průsečíku v inerciální soustavě tyče $a$ bude norma vektoru $\mathbf{v_2'}$ :
$|\mathbf{v_2'}|$