Matematické Fórum

MaxDJs · 15. 02. 2013 10:47 — Editoval MaxDJs (15. 02. 2013 10:48)

Zdravím,

jak mám matematickou indukcí vyřešit tento problém?

Dělí číslo 6 výraz $(n^3 - n)$ ?

Vím, že celé číslo p je dělitelné nenulovým celým číslem q, jestliže existuje takové celé číslo k, pro které platí, že
p = kq.

Takže podle definice by mělo platit

$(n^3-n) = k\cdot6$

Ale nevím jestli z toho jde udělat první a indukční krok.

Děkuji moc za radu

Blackflower · 15. 02. 2013 10:58

↑ MaxDJs: Prvý krok je taký, že to overíš pre malé n, napríklad n=1 alebo n=2.
Potom za n dosadíš n+1 a pokúsiš sa z toho nejako dostať von to $(n^3-n)$ .
$(n+1)^3-(n+1)=...$

marnes · 15. 02. 2013 11:08

↑ Blackflower:
pro n=1 platí
předpokládáme, že platí pro n=k $6/(k^{3}-k)$
ad dokážeme pro n=k+1 $6/((k+1)^{3}-(k+1))$
$6/(k^{3}+3k^{2}+3k+1-k+1)$
$6/((k^{3}-k)+(3k^{2}+3k))$
$6/((k^{3}-k)+3k(k+1))$
$k^{3}-k$ je dělitelné šesti dle předpokladu
$k(k+1)$ jsou po sobě jdoucí čísla, tudíž je to dělitelné dvěma
$3k(k+1)$ je dělitelné dvěma a zároveň třeni, tudíž také dělitelné šesti
$(k^{3}-k)+3k(k+1)$ tak i součet je dělitelný šesti

MaxDJs · 15. 02. 2013 11:10

↑ Blackflower:

To vím, ale nevím co udělám s tou druhou stranou $k\cdot6$ , abych mohl vypočítat jestli platí rovnost levé a pravé strany?

MaxDJs · 19. 02. 2013 21:36

↑ marnes:

Neměly by být první dva řádky takhle?
$6/((k+1)^{3}-(k+1))$
$6/(k^{3}+3k^{2}+3k+1-k-1)$

Blackflower · 19. 02. 2013 21:43

↑ MaxDJs: Zdá sa mi, že asi aj áno...

MaxDJs · 19. 02. 2013 21:51

↑ Blackflower:

takže v tom dalším kroku to bude

$\frac{n^3+3n^2+2n}{6}$ ?

Blackflower · 19. 02. 2013 21:57

↑ MaxDJs: Nechápem celkom, ako to myslíš... tie dva riadky, čo si napísal, sedia, po nich by som pokračovala takto:
$6|((k^3-k)+(3k^2+3k))$
Prvá zo zátvoriek je deliteľná 6 podľa IP, ako napísal ↑ marnes:. Druhá tiež, pretože sa dá napísať ako $3k(k+1)$ . Jedno z čísel $k$ a $k+1$ bude určite párne, čiže celý výraz je deliteľný 6.

Blackflower · 19. 02. 2013 22:00

Ešte taká odbočka... tento príklad sa dá ľahko vyriešiť aj bez matematickej indukcie:
$n^3-n=n(n^2-1)=n(n+1)(n-1)=(n-1)n(n+1)$
Z takéhoto zápisu vidno, že sú to tri po sebe idúce čísla, čiže sa tam vyskytne aspoň jedno párne a práve jedno deliteľné 3. Čiže celý výraz musí byť deliteľný 6.

Matematické Fórum

#1 15. 02. 2013 10:47 — Editoval MaxDJs (15. 02. 2013 10:48)

Matematická indukce

#2 15. 02. 2013 10:58

Re: Matematická indukce

#3 15. 02. 2013 11:08

Re: Matematická indukce

#4 15. 02. 2013 11:10

Re: Matematická indukce

#5 19. 02. 2013 21:36

Re: Matematická indukce

#6 19. 02. 2013 21:43

Re: Matematická indukce

#7 19. 02. 2013 21:51

Re: Matematická indukce

#8 19. 02. 2013 21:57

Re: Matematická indukce

#9 19. 02. 2013 22:00

Re: Matematická indukce

Zápatí