Matematické Fórum

Honza90 · 14. 02. 2013 19:47

Dobrý večer. Zkontroloval by mi někdo, zda je tento důkaz korektní?
Dokažte, že uzávěr množiny A je nejmenší uzavřená množina obsahující A.

Důkaz:
Předpokládejme, že existuje uzavřená množina $B$ tak, že $A\subset B\subset \bar{A}$ kde $\bar{A}$ je uzávěr $A$ .
Platí $\partial B\subset \bar{A}$ , tedy $\partial B$ má podle definice uzávěru množiny tyto dvě možnosti:
a) $\partial B \subset A$ čímž je porušen předpoklad, že $A\subset B$
b) $\partial B=\partial \bar{A}$ z čehož plyne, že $B=\bar{A}$

Honza90 · 14. 02. 2013 21:49

↑ Bati:
nedokážu si moc představit, kde by ty izolované body měly být.

Brano · 14. 02. 2013 22:52

↑ Honza90:
Napis prosim aku pouzivas definiciu uzaveru a v akom priestore to uvazujes - metricky/topologicky

Honza90 · 14. 02. 2013 22:56

↑ Brano:
Uzávěr množiny A je množina, ve které má každé epsilonové okolí každého jejího bodu neprázdný průnik s A. Jsem v metrickém prostoru.

vlado_bb · 14. 02. 2013 23:03

↑ Honza90:Nech teda existuje uzavreta mnozina $B$ taka, ze $A \subseteq B \subseteq \bar{A}$ . Nech $B$ je vlastna podmnozina mnoziny $\bar{A}$ . Potom existuje $x \in \bar{A}, x \notin B$ . Nakolko doplnok $B$ je otvorena a $x$ je jej prvkom, tak existuje otvorene okolie bodu $x$ leziace v doplnku $B$ . Dalej je to uz asi jasne, ze?

Honza90

↑ vlado_bb:
No moc ne
To že x má okolí v $\bar{A}$ neznamená, že má neprázdný průnik s $A$

vlado_bb · 14. 02. 2013 23:12

↑ Honza90:Ide o okolie prvku uzaveru mnoziny A, ktore ma s nou prazdny prienik. A taky prvok predsa v uzavere byt nemoze.

Honza90 · 14. 02. 2013 23:14

↑ vlado_bb:
jasně, už chápu. a co ten můj způsob, je taky správně?

vlado_bb · 14. 02. 2013 23:16

↑ Honza90:Co oznacuje symbol $\partial B$ ?

Honza90 · 14. 02. 2013 23:24

↑ vlado_bb:
Množina hraničních bodu množiny B

vlado_bb · 14. 02. 2013 23:31

↑ Honza90:V casti b pouzivas uvahu $\partial M = \partial N \implies M=N$ , co ale nie je pravda, napriklad v realnych cislach pri obvyklej metrike je $\partial Q = \partial (R \setminus Q) = R$ , pricom tieto mnoziny su dokonca disjunktne.

Honza90

↑ vlado_bb:
stačilo by místo toho říct, že pokud $\partial B=\partial \bar{A}$ pak neplatí $B\subset \bar{A}$ ?

vlado_bb · 14. 02. 2013 23:49

↑ Honza90:Toto moze aj nemusi byt pravda. V priklade s racionalnymi cislami, ktory som uviedol, je to tak, ako pises. Ale napriklad ak $B=(0,1), A=[0,1]$ , tak $\partial B=\partial \bar{A}$ a zaroven $B\subset \bar{A}$ . Do tohoto dokazu by som hranicu netahal.

Rumburak

↑ Honza90:

Ahoj. K důkazu té věty potřebuješ použít DVĚ definice.

Definici UZÁVĚRU množiny jsi podal zde ↑ Honza90: , uvědom si ještě definici UZAVŘENÉ MNOŽINY.

Zpravidla se definuje nejprve otevřená množina (což je taková, která s každým svým bodem obsahuje i některé jeho okoli),
uzavřená množina pak je taková, jejímž doplňkem (do celého prostoru) je množina otevřená.

Pojmy otevřenosti a uzavřenosti množin jsou závisle na tom, ve kterém konkretním prostoru jsou míněny.

Tak tedy:

Uzávěr množiny $A$ je množina, ve které má každé epsilonové okolí každého jejího bodu neprázdný průnik s $A$ .

Mějme v prostoru $P$ množinu $A$ a její uzávěr $B$ . Položme $C = P-B$ a ukažme, že $C$ je otevřená v $P$ .

Případ $C = \emptyset$ je triviální, nechť dále $C \ne \emptyset$ .
Předpokládejme, že $C$ NENÍ otevřená v $P$ , tedy existuje $u \in C$ takové, že žádné jeho okolí $U$ není částí $C$ .
To znamená (podle definice množiny $C$ ), že v každém takovém $U$ leží některý prvek $b\in B$ .
Některé okolí $V$ takového bodu $b$ je částí $U$ , protože $b \in U$ a $U$ (jako každé okolí bodu) je otevřená množina.
Ve $V$ nutně existuje některé $a \in A$ , protože $V$ je okolím bodu $b$ , který patří do uzávěru mn. $A$ .
Máme tedy $a \in A$ takové, že zároveň $a \in V \subseteq U$ .

Ukázeli jsme, že existuje $u \in C$ takový, že v každém jeho okolí $U$ leží některý prvek množiny $A$ , tedy $u \in B$ ,
takže celkem $u \in B\cap C$ , avšak tento průnik by podle definice množiny $C$ měl být prázdný , což dává spor.

EDIT :

Tím je dokázáno, že $B$ (tedy uzávěr množiny $A$ ) je uzavřená množina, což je, myslím, ten krok, který Ti nebyl jasný.

Viz též ↑ Brano:

Brano · 15. 02. 2013 11:14

↑ Rumburak: Len by som dodal, ze zatial si dokazal, ze uzaver mnoziny je uzavreta mnozina. A este treba ukazat, ze je najmensia - aby si teda ↑ Honza90: nemyslel ze to uz je vsetko. Tu minimalnost ukazal ↑ vlado_bb:.

Rumburak · 15. 02. 2013 11:39

↑ Brano:

Děkuji za připomínku, pokusil jsem se uvést svůj příspěvek na pravou míru.

Honza90 · 15. 02. 2013 14:07

↑ Rumburak:
to je dobrý důkaz uzavřenosti uzávěru, ale skusím zda to nejde dokázat trochu jednodušeji

Brano · 15. 02. 2013 14:33

Ono vsetko dost zavisi od toho ake definicie pouzivate. Napr. jedna moznost na definovanie otvorenych mnozin je , ze definujes operator uzaveru - co si urobil. Dve z jeho podstatnych vlastnosti su
$\overline{\overline{A}}=\overline{A}$
$A\subseteq B\Rightarrow \overline{A}\subseteq\overline{B}$

Uzavrete mnoziny na $X$ definujes ako system $\mathcal{C}=\{\overline{A};A\subseteq X\}$ a otvorene ako system $\mathcal{O}=\{X\setminus C;C\in\mathcal{C}\}$ . Pre uzavrete $C$ lahko dokazes, ze plati $\overline{C}=C$ .

Uzavretost uzaveru mas teda rovno z definicie a minimalita je potom jednoducha. Nech $C$ je uzavreta a plati $A\subseteq C\subseteq\overline{A}$ potom $\overline{A}\subseteq\overline{C}\subseteq\overline{\overline{A}}=\overline{A}$ teda $\overline{A}=\overline{C}=C$ .

Predpokladam, ze ste mali ine definicie, ale ak ste to co som pouzil mali dokazane ako vlastnosti, tak to potom mozes pouzit.

martisek · 15. 02. 2013 17:12

↑ Honza90:

Brano použil topologickou definici, kde je to opravdu jednoduché. Ale ani v to metrickém prostoru to není příliš komplikované:

Je-li A uzavřená množina, pak je to triviální, protože $A=\overline{A}$ a $A\subset B\subset \bar{A} \Rightarrow \bar{A}\subset B\subset \bar{A}$ nemůže platit.

Je-li A otevřená, pak $\overline{A} = A \cup \delta A$ . Jeli $B\subset \overline A$ pak existuje $a\in \overline A$ pro který je

$a\notin B$ (1)

Protože $A\subset B$ a (1), musí být $a\in \delta A$ . Takže pro každé okolí O_a existuje b tak, že $b\in A$ . Protože ale zároveň $A \subset B$ , je také $b\in A$ . Znamená to, že a je hraniční prvek B a vzhledem k tomu, že B je uzavřená, musí být $a\in B$ . To je ale spor s (1).

martisek · 15. 02. 2013 17:14

↑ Honza90:

Omlouvám se, zůstal mi tam překlep - předposlední Tex má být $b \in B$ .

Honza90 · 15. 02. 2013 17:51

Děkuji za odpovědi, mě se nejvíce líbí ta metoda pomocí hranic, jak uvedl tady pan docent.

martisek · 15. 02. 2013 18:21

↑ Honza90:

Děkuji, děkuji. Taková maličkost a člověka to potěší :-)

Brano · 15. 02. 2013 18:46

Nechcem nejak extra vyryvat, ale ↑ martisek: tvoj dokaz obsahuje par formalnych chyb.
1) V pripade $A$ uzavretej chceme vylucit "vseobecnejsiu" moznost, kde je iba druha inkluzia vlastna - co samozrejme tiez plati.
2) Mnoziny su aj ine ako otvorene a uzavrete, ale $\overline{A} = A \cup \delta A$ plati vzdy.

Napriek tomu si myslim, ze cela uvaha s hranicou je zbytocna komplikacia. Znova sa jedna iba a dokaz minimality a ten uz urobil ↑ vlado_bb: jednoduchsie.

martisek · 15. 02. 2013 19:02

↑ Brano:

Skutečně pár (tj. dvě) a jsou zcela drobné.

1) to je samozřejmě pravda, ale množna B tak, že $A\subseteq B\subset \bar{A}$ rovněž neexistuje.

2) Místo "Je-li A otevřená..." ve druhé části důkazu by mělo být "Není-li A uzavřená" a všechno ostatní může zůstat :-)

Matematické Fórum

#1 14. 02. 2013 19:47

uzáver množiny - důkaz

#2 14. 02. 2013 20:37 Příspěvek uživatele Bati byl skryt uživatelem Bati. Důvod: Omyl

#3 14. 02. 2013 21:49

Re: uzáver množiny - důkaz

#4 14. 02. 2013 22:52

Re: uzáver množiny - důkaz

#5 14. 02. 2013 22:56

Re: uzáver množiny - důkaz

#6 14. 02. 2013 23:03

Re: uzáver množiny - důkaz

#7 14. 02. 2013 23:06 — Editoval Honza90 (14. 02. 2013 23:11)

Re: uzáver množiny - důkaz

#8 14. 02. 2013 23:12

Re: uzáver množiny - důkaz

#9 14. 02. 2013 23:14

Re: uzáver množiny - důkaz

#10 14. 02. 2013 23:16

Re: uzáver množiny - důkaz

#11 14. 02. 2013 23:24

Re: uzáver množiny - důkaz

#12 14. 02. 2013 23:31

Re: uzáver množiny - důkaz

#13 14. 02. 2013 23:45 — Editoval Honza90 (14. 02. 2013 23:45)

Re: uzáver množiny - důkaz

#14 14. 02. 2013 23:49

Re: uzáver množiny - důkaz

#15 15. 02. 2013 10:32 — Editoval Rumburak (15. 02. 2013 11:41)

Re: uzáver množiny - důkaz

#16 15. 02. 2013 11:14

Re: uzáver množiny - důkaz

#17 15. 02. 2013 11:39

Re: uzáver množiny - důkaz

#18 15. 02. 2013 14:07

Re: uzáver množiny - důkaz

#19 15. 02. 2013 14:33

Re: uzáver množiny - důkaz

#20 15. 02. 2013 17:12

Re: uzáver množiny - důkaz

#21 15. 02. 2013 17:14

Re: uzáver množiny - důkaz

#22 15. 02. 2013 17:51

Re: uzáver množiny - důkaz

#23 15. 02. 2013 18:21

Re: uzáver množiny - důkaz

#24 15. 02. 2013 18:46

Re: uzáver množiny - důkaz

#25 15. 02. 2013 19:02

Re: uzáver množiny - důkaz

Zápatí